SE

si l'on a représenté par /?, la probabilité de l'effet quand la cause agit.

Iwi porte sur toutes les probabilités relatives aux valeurs des u compatibles avec les observations; ni, est la probabilité a priori pour que les diverses quantités u soient comprises entre certaines limites.

La k'lème inconnue a pour probabilité d'être comprise entre

THÉORIE DE LTNTERPOLATION.

uk et uk -+- duk,

e-h*uîdk;

gt,- comporte/? facteurs analogues,

j'écrirai pour abréger

T3i=YL duA du» . . . dup,

11 faut intégrer pour toutes les valeurs des u compatibles avec les observations, c'est-à-dire satisfaisant aux inégalités

xh < Cj. Ui -+- C| uz + . . . 4- C% up<xh-+- dxh. La probabilité cherchée sera

cj, II du-i dui . . . du„

l7*1' Jlld^diu...

du,

quand les « satisferont aux inégalités ci-dessus. Sinon l'on aura © comme probabilité.

220. Si je cherche la valeur probable d'une fonction quelconque des u,

f FUdui du.2 . . . du,

/ II du. du» . . . dup

Nous allons transformer ces deux intégrales. On a

#h<fh< xh+dxh.

.le vais prendre pour inconnues j2, y„, et j'y adjoindrai p — // fonctions linéaires des // tout à fait quelconques, zu s2, . . . , zp„.

II diii dit2. . .du p

va se transformer en

II A dyx dy2 . . . dyn dzt dz* . . . dzp^n .

A est le déterminant fonctionnel des u par rapport aux r et aux s; comme ce sont des fonctions linéaires, A est constant. II vient

/ Fil dy i dy2 . . . dyn dzx dz.2 . . . dzp-„

J^TI dy{ dy* . . . dyn ds, dz, . . . dzp n

Nous avons à intégrer d'abord par rapport aux y; yx par exemple variera depuis xx jusqu'à t, -t-(/,r„ c'est-à-dire

très peu; la fonction sous le signe J" va rester sensiblement

constante, et l'on pourra écrire

dxx dx* . . . dxn f VU dzx dz2 . . . dsP-„

dxx dx2 . . . dxn ^ TI dzx dzt .

Les différentielles des x disparaîtront.

FIT et II sont des fonctions des z, et nous intégrerons par rapport aux : de - « à + «.

II est le produit d'un facteur constant par une exponen-

THÉORIE DE L'iNTEBPOLATlON. 297

tielle, e-V'i'ti+h*u*+- -+h"v)- l'exposant est un polynôme — P du second ordre et non homogène par rapport aux z.

221. Supposons F fouction linéaire des z. Cherchons la valeur prohable de F.

Les valeurs probables des différentes, quantités z s'obtiennent en cherchant les valeurs qui rendent minimum l'exposant P : soit z°£ la valeur de zt qui rend P minimum.

Alors

P0 est une constante, et P2 est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux quantités zt — z?. L'intégrale

j ( s, - ) e~ p dz, dz,... dzp n

porte sur une fonction impaire par rapport à Zi — zj; en intégrant de — » à -+- oc, on aura zéro pour la valeur de cette intégrale.

On en déduit que, si F est égale à F0 quand on y remplace z£ par zf,

f (F-T0)e-*dzldzî...dzp n

est nulle, prise de — oc à 4- 00.

De même

J (F — F0)Jldzi dzt. . .dzp-h=o;

et par suite

^F II dzx dz2... dzp n = F0 f H dz, dz2... dzp n,

c'est-à-dire

Ainsi on obtiendra la valeur probable de F en substituant à z.j les valeurs qui rendent minimum le polynôme P.

'222. Appliquons ces principes au problème posé au paragraphe 216.

Au sujet de f{x), nos inconnues a sont les A et nous

avons

P = h, A\ -h hi A\ 4- . . . + h, A] + . . . .

11 faut rendre ce polynôme minimum.

Les valeurs des A seront d'ailleurs arbitraires, sauf les relations linéaires données par les observations

fia,,) B,,.

Ecrivons que P est minimum. L'accroissement dP devra être nul quand les A/ s'accroîtront de dk,

dP = h0A0 d\0 + . . . -+- ht A4 dAt-h . . . — o.

Les accroissements dA0, . . . , dA,, . . . sont liés par

df(a,) = o.

Or, /'(a,) par exemple est égal à

f(at) = A0-f- A,a, + . . .-+- A/a', -t-

Donc

dA0-t- a{dAx + . . .-\-a\ rfA,-f-. . . = o, dA0 -+- a.2 dAt ■+-... -+- a\ dA,- 4- . . . = o,

dAQ + a„ dAi -f- ...-+- aln d\, ; + . . . = o.

THÉORIE DE L'INTERPOLATION. 2g9