Pour que P soit minimum, la première équation dP = o

doit être satisfaite quels que soient les d\ ; celte première équation doit être une conséquence des n autres relations entre dk.

Soient s,, e2, £„ des coefficients convenablemenl choisis, par lesquels nous multiplions respectivement les deux membres de chacune de ces n relations,

ht kj '= Sj a\ 4- £o a j -+- . . . -t- £„ a'H ,

Si je pose

• . i ' x oc1

le coefficient de £i dans

sera 9 (^«t), etc.

Il vient donc finalement

/O) = £, ®{xai) -h £2 o(a?a2) -4- ... -h e«<p.(afa-„).

Nous disposerons des coefficients £ de façon à satisfaire aux observations, d'où n équations à n inconnues.

l'ik. La forme de f{&) dépend des /*. Pour que la série qui représente soit convergente, il faut que les coef-

ficients h augmentent avec une rapidité suffisante.

Si l'on a

\*\<? et \ah \<p,

3ûO CHAPITRE XV. —

c'est-à-dire

la série sera convergente quand

En somme, cela revient à dire que la probabilité pour que les derniers coefficients en A, s'écartent de zéro devient de plus en plus faible. Il suffit de supposer qu'à partir du «ième rang les h sont infinis. Dans o(x)f les termes extrêmes où entrent h„, hn+ï. . . s'annuleront et cp(#) sera un polynôme d'ordre n.

225. Battage des cartes. — Je me suis occupé dans l'introduction des problèmes relatifs au joueur qui bat un jeu de cartes. Pourquoi, quand le jeu a été battu assez longtemps, admettons-nous que toutes les permutations des cartes, c'està-dire tous les ordres dans lesquels ces cartes peuvent être rangées, doivent être également probables? C'est ce que nous allons examiner de plus près.

Soit q le nombre des cartes; soit S/ une permutation quelconque, c'est-à-dire l'opération qui consiste à faire passer au rang a la carte qui avant la permutation occupait le rang <3; a. étant une fonction déterminée de (3. Le nombre total des permutations possibles est q\ Il y aura un certain ordre des cartes que nous considérerons comme normal, et que nous désignerons par S0; et nous représenterons par S,- l'ordre dans lequel se trouveront rangées les cartes, lorsque, primitivement rangées dans l'ordre normal, elles subiront la permutation S,. Ainsi S„ représentera à la fois l'ordre normal, et la permutation identique, celle qui n'altère pas l'ordre des cartes. Cela posé, deux permutations consécutives S£ et Sy équivaudront à une permutation unique S*, et c'est ce que j'exprimerai par la relation

Un ensemble de permutations forme un groupe quand le produit de deux permutations quelconques de l'ensemble appartient à l'ensemble.

Soient donc

Sot St, . . . , Sr

les diverses permutations d'un groupe G et les ordres correspondants des cartes. Supposons que nous sachions que l'ordre du jeu appartient à ce groupe, et que les diverses permutations du groupe aient pour probabilités respectives

Po, pi, />,-,

de telle sorte que

po + P\ + - .. + />,= I.

Nous pouvons représenter symboliquement cette loi de probabilité par un nombre complexe. On sait que l'on a inauguré des nombres complexes de la forme

X — .r0<?0-4- .r,e, 4-. . .4- jc,.er, ■

où les x sont des quantités ordinaires et les e des unités complexes. Les opérations sur ces nombres complexes se l'ont d'après les règles ordinaires du calcul, avec cette différence que la multiplication, qui reste distributive et associative, peut ne pas êîre commutative. On définit un système de nombres complexes, en se donnant la règle de multiplication, c'est-à-dire en définissant le produit etej de deux unités complexes quelconques.

Nous allons définir un système de nombres complexes correspondant à notre groupeG; à chacune des permutations S,- de ce groupe, nous ferons correspondre une unité complexée/,* et si l'on a l'équation (r) StSy — S*, nous con-

QUESTIONS DIVERSES. 3o3

viendrons que ie produit e£ej est égal à ek. Cette règle est admissible, puisqu'elle est associative.

Nous pourrons alors représenter symboliquement la loi de probabilité envisagée par le nombre complexe

P =p0e0 + pi et-+-. . .-^-prer.

226. Le joueur qui bat les cartes a des habitudes, de sorte qu'à chaque coup, il y a une probabilité p£ pour qu'il fasse subir aux cartes la permutation S£. Celte loi de probabilité, qui nous est d'ailleurs inconnue, est représentée symboliquement par le nombre P — 2p£e£. Si l'on est parti de l'ordre normal, la probabilité pour qu'après un coup on ait l'ordre S£ sera p£, de sorte que la loi de probabilité des différents ordres sera encore représentée symboliquement par P. Si au lieu de partir de l'ordre normal S0 nous étions partis d'un ordre quelconque Sy, la loi de probabilité aurait été représentée par ejP. Si avant le coup la loi de probabilité était représentée par le nombre complexe Q, elle le sera après le coup par QP. Si donc nous partons de l'ordre normal et que nous battions n coups, la loi de probabilité sera représentée finalement par le nombre complexe P".

Ce que nous voulons démontrer c'est que, si n est très grand, on aura sensiblement

Vn = —^—(e0-hel-h...-her),

c'est-à-dire que tous les ordres possibles seront également probables. Et ce résultat sera indépendant de P, c'est-à-dire de la loi inconnue de probabilité, des habitudes inconnues du joueur.