M. Cartan a introduit dans la théorie des nombres

3o4 CHAPITRE XVI.

complexes la notion de l'équation caractéristique. Soient A un nombre complexe donné, X un nombre complexe inconnu, w un nombre ordinaire inconnu; considérons l'équation

(2) AX = toX.

Les deux membres sont des nombres complexes, et en égalant les coefficients de e0, e„ ...ten on aura /■ -+- i équations entre les /• -+- 1 coefficients x,- du nombre complexe inconnu X; ces équations sont linéaires d'une part par rapport aux xh et d'autre part par rapport à w el aux r -h i coefficients a{ du nombre A. Nous avons donc r-+-i équations linéaires par rapport aux r-f- i inconnues a:,. Écrivons que le déterminant A de ces équations est nul; nous aurons une équation algébrique d'ordre /■ -4- i qui' déterminera co. D'après le théorème des substitutions linéaires, à chaque racine simple de cette équation A — o, correspondra un nombre complexe X satisfaisant à (2). A une racine double correspondront deux nombres complexes X et X4, tels que

(ibis) AX = a>X, AX.rrcoX^e.X.

A une racine triple, trois nombres X, X,, X2, tels que

(2<er)' AX = «X, AX^coXj + ejX, AXS= uX,+ £,X„

et ainsi de suite; less sont des nombres constants ordinaires qu'on peut supposer égaux à o ou à 1. Remarquons que, si £, — £,= o, on aura

A(XX + À,X1 + ?wX2') = w(X\ + X.X^^X,)

quelles que soient les constantes À, X„ X2 (qui sont, bien entendu, des nombres ordinaires).

Dans le cas des nombres complexes dérivés des groupes,

QUESTIONS DIVERSES. 3o5

il y a quelques simplifications. Soit X un nombre complexe quelconque et posons

eiX = Y = 3tyJeJ;

on voit tout de suite que les y ne sont autre chose que les x rangés dans un ordre différent. Il en est de même si l'on pose Xe, ; = Y; on a d'ailleurs

<?0X = Xe0=X,

de sorte que l'équation (2) peut s'écrire

(A — we0)X — o.