Sans insister davantage sur le côté métaphysique des

questions de probabilités, et clans le seul but de provoquer des réflexions sur ce sujet, je ferai encore remarquer qu'une probabilité peut être subjective. L'on a des raisons personnelles de croire telle hypothèse plus probable que telle autre.

La probabilité peut aussi s'objectiver, en statistique par exemple : le nombre probable des personnes qui mourront dans une année est tant; cependant il s'en écartera un peu. Dans quelles limites nos prévisions seront-elles vérifiées? Pourquoi seront-elles vérifiées ?

Il y a là quelque chose de mystérieux, d'inaccessible au mathématicien.

Quoi qu'il en soit, l'ordre que je suivrai dans l'exposé mathématique des probabilités sera celui que j'ai indiqué plus haut.

Je commencerai par des problèmes où les cas possibles sont en nombre limité; puis j'étudierai, au sujet des cas en nombre très grand, le théorème de Bernoulli et ses conséquences, la probabilité des causes, les problèmes où entrent des constantes arbitraires; le nombre des cas devenant infini, j'exposerai la théorie des erreurs, branche fort importante, et j'apprendrai, enfin, à déterminer des lois ou des fonctions arbitraires.

11. Le calcul des probabilités repose sur deux théorèmes : le théorème des probabilités totales; le théorème des probabilités- composées.

Au sujet de deux événements A et B, on peut se poser divers problèmes de probabilité, suivant que l'un de ces événements doit se produire, ou tous les deux, ou aucun.

Ou bien A et B se produiront tous deux, hypothèse que j'appellerai AB ;

Ou bien  se produira, B ne se produira pas, hypothèse que j'appellerai AB';

Ou bien A ne se produira pas, B se produira, hypothèse que j'appellerai A'B;

Ou bien ni A, ni B ne se produira, hypothèse que j'appellerai A'B'.

Supposons que A B se réalise dans a cas différents » AB' » (3 »

Le nombre total des cas possibles est a -+- (3 -h y -+- ô, que l'on suppose par convention également probables. Examinons diverses probabilités.

36 CHAPITRE ÎI.

La probabilité pour que A. se produise est

les cas favorablesétant AB et AB'.

La probabilité pour que B se produise est

m " , ft=ï+f^- .•'/'* —

La probabilité pour que l'un des deux au moins se produise est

x -H fi -4-y

(A ou B) pi

les trois premières hypothèses AB, AB' et A'B étant favorables.

La probabilité pour que les deux se produisent est (AetB)' pk — ,

une seule hypothèse AB étant favorable.

Nous avons encore à envisager la probabilité pour que A se produise, si B s'est produit,

( A si B ) p5

nous savons d'avance que B s'est produit, par suite le nombre des cas possibles se réduit, ainsi que celui des cas favorables.

La probabilité pour que A se produise, si B ne s'est pas produit, est

(■A si B') ^ffe

les cas possibles étant au nombre de (3 -+- 8.

La probabilité pour que B se produise, si A s'est produit, est

(B si A) Pl

La probabilité pour que B se produise, si l'on sait que A ne s'est pas produit, est

<BsiA'> r»=jh-

12. Les théorèmes annoncés se réduisent à de simples identités.

Examinons Pi,Pz>Pzi /V On a

oc ce a -h y

/>«•== ~ . , a , „, , a = — — Z , a , ' , » =P*Ps;

de même

P* = PiPt

Ainsi la somme des probabilités pour que A se produise et pour que B se produise est égale à la somme des probabilités pour que l'un des deux au moins se produise et pour que tous les deux se produisent

(A) 4- (B) — (A ou B) -t- (A et B).

La probabilité pour que A et B se produisent tous deux est égale à. la probabilité pour que B se produise, multipliée par la probabilité pour que A se produise, quand on sait que B s'est, produit.

Ou, inversement, elle est égale à la probabilité pour que A se produise, multipliée par la probabilité pour que B se produise, quand on suppose que A doit se produire.

(A et B) — (B).(A si B) = (A) (B si A).