Appliquons ce qui précède au problème qui nous occupe

Soit d'abord M =: i;

F(^>y) ^i; ,, (,;!i ,), X^yn^-^ ix ^y)m;

si je fais ensuite

00 =p, y — q, il vient

et, en effet, la valeur probable de i est i.

Pour avoir la valeur probable de a, je différentie F {x^y) par rapport à x^ et je multiplie par x, ce qui me donne m^(^ -h r)'^-^; puis, je fais ^=/>, y=^q. La valeur probable de a est mp.

Pour avoir la valeur probable de a^, je différentie le terme mx{x -f- j)'«-* parrapport à^, puis je multiplie par ^; ce qui me donne d'abord

m{x -\- y)"^-'^->r m{m — \)x{x ->r y)"^-"^, puis

mx{x -^ yY"--^ -h m(m — \)x^{x -^ y)"*--.

En faisant x ^=p ety^Çy j'obtiens, pour la valeur pro-

LE THÉORÈME DE BERNOULLI. 8l

bable de a%

mp -\- ni-p"^ — inp^.

Cherchons, maintenant, les valeurs probables de h et h"^. La valeur probable de h sera la valeur probable de a, moins la valeur probable de m/;, c'est-à-dire

mp — mp = o .

La valeur probable de l'écart esl donc nulle. La valeur de h^- est

li^'z=zc(.- — 1 mp (y. -\- m^' p"^ ;

sa valeur probable est donc

( mp -H m^-p"^ — mp- ) — 2 mp . mp -\- m} p"-^ OU

mp{\—p), c'est-à-dire jnpq.

La valeur probable du carré de h est mpq.

On vérifiera en passant qu'elle est effectivement plus grande que le carré de la valeur probable de h, qui^est nulle.

39. Passons à la valeur probable du module de h; cherchons d'abord quelle serait l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme i si l'écart était positif, et o s'il était négatif.

2wa doit se borner uux termes dont l'écart est positif. Soit wp le dernier terme de 2wa pour lequel l'écart est positif; on a

(3 > m/) et p — I < m/?,

et l'espérance mathématique de ce joueur serait

St. chapitre iv.

c'est-à-dire F (/?, q) en posant

Si l'on supposait, maintenant, qu'on ait promis à ce joueur

^F une somme a, son espérance mathématique sera x —•> en

faisant x ^^ p^ y z^q après la différentiation. Enfin, la valeur probable d'une fonction qui est égale à h pour/i> o et à o pour A < o sera donc l'espérance mathématique de ce joueur à qui l'on promet ol — mp quand a > mp\ c'est donc

F est un polynôme homogène et de degré m en ;r et y;

donc

^F rfF

mYr=iX-z \-r—, —

dx ^ dy

L'espérance mathématique ci-dessus devient d¥ d¥ d¥

dx dx "^ dy '

dF dF

en faisant x — /?, y = q^ après différentiation. On a d'abord

/dF dF\

p^^yi^-d^P

d'autre part

dx ' -^ j3!(„i__p)I r- J

dF , ,

Il entre un terme de plus dans la somme qui représente

ciF . . » . dF dF .. . ..

-r-; ce dernier terme représente -, r-» et il est égal a

doC ^ dx dy "

(3!(m-(3)! -^ X et, après qu'on y a fait x =/>, y zmq, il devient

Pour l'espérance mathématique de notre joueur, nous avons donc

On y reconnaît le produit par (3^, du terme «p, le dernier qui corresponde à un écart positif.

40. On promet à un joueur une somme égale à la valeur absolue de l'écart : soit E son espérance mathématique, en admettant qu'il ne doive être payé que si l'écart est positif, E' en admettant qu'il ne doive être payé que s'il est négatif.

La valeur probable de A est E — E'.

Comme la valeur probable de h est nulle

et la valeur probable de | h | est 2E.

k\. Ainsi la valeur probable de l'écart /z, considéré en valeur relative, est zéro; la valeur probable de h- est mpq\ celle de I A I est 2E ou

(3 correspond au dernier terme pour lequel l'écart est positif, et il diffère peu de mp ,

A cette expression on peut substituer la valeur approchée

Ce terme est beaucoup plus grand que tous les autres, niais il est très petit d'une manière absolue.

petite que sjmpq.

42. Je vais montrer comment on peut connaître une valeur approchée de Wa> flu terme maximum, de la valeur probable de | A | , etc.

Le cal-cul de ces valeurs approchées se ratla^che à la formule de S tir lin g i

On a

ni— j ^" e-« d.vz=:Ti n

c'est-à-dire la fonction eulérienne; celte intégrale conserve un sens quand n est positif, mais non entier. Si l'on pose

r ( /i + I ) = /i" e-" \fï%n^

le rapport du premier membre au second tend vers l'unité quand n augmente indéfiniment.

Je ne donnerai pas la démonstration générale, mais seulement celle qui concerne n entier.

La formule de Stirling sert à calculer la factorielle d'un nombre entier

n\ = n'^e'^sji'Kn^

c'est une formule asymptotique. L'erreur absolue que l'on commet en prenant le second membre comme valeur du

premier augmente indéfiniment avec /i, mais l'erreur relative tend vers zéro.

H en résulte que l'erreur absolue sur le logarithme de ni tend vers zéro.

Je puis d'abord écrire •

et je vais démontrer que F (n) tend vers une limite finie et déterminée G quand n augmente indéfiniment ; de telle sorte que l'on aura alors

n\ m C /i'* e-"^ sfn.