Considérons le produit

F(2) F(3) F(nH-i) F(i) F(2)*** ¥{n) '

Ce produit infini est convergent, ou, ce qui revient au même, la série, dont le terme général est

est convergente.

Nous avons

F(/i + i) (/^-n)! n"e~"\fJi

¥{n) ~~ n\ (/i-4-i)«+ie-<"+i)yÇ^rH7'

F(/i-M) __ Ai-t-i ,^ / A? /' n \""^^ Le second membre se transforme, à l'aide du dévelop-

pement de log(i -h^) en série, en

\n 'in*- , 6n^ ' ' )

ou en

in 3/2"^

c'esl-à-dire en

Si j'appelle Un le premier terme de celte dernière série,

et

Mm /i-M„ =

En vertu d'une règle de Gauss, cette série est convergente.

kh. Reste à calculer la valeur de C.

Rappelons la formule de Wallis

2 Aî in

2~~i335 in — 12/H-1 on en déduit, pour n plus grand que toute (juantité donnée,