in — i)\Jin.-^ I

Au numérateur figurent les n premiers nombres pairs, au dénominateur les n premiers nombres impairs; je mul-

tiplie haut et b*as par 2.4... 2/1; il vient

{2 n)l \/2n -\- i (2Ai)!\/2/i

Cette fraction a pour limite i /-) quand n augnnente

in-

définiment. Si nous y remplaçons les factorielles par leur valeur approchée pour à: très grand-, elle devient

( 2 n )2« e--^« C v^2 n \/2 n -f- 1 ou

et, quand n grandit indéfiniment, elle se réduit à -•

Cette limite étant la même que la précédente, \/->

on a

C = \/2Tr.

4-5. Valeur asymptotique de Wa. — Quand deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective/? et Çy de telle sorte que p -\-g zzz 1, nous avons vu que, sur m événements, la probabilité pour qu'il s'en produise a égaux à A et m — a égaux à B est

Calculons une valeur approchée de w», en supposant m très grand, et de plus

1 \Jm est très grand quand m est très grand, mais nous supposerons X fini et, par conséquent, Terreur relative très petite, quand on prend mp pour valeur de a, c'esl-à-dire

— voisin de I, mp

n^P psfrn.

On a comme conséquence

m — aznmq — "ksjm^ puisque

Je remplace dans Uq, chaque factorielle par sa valeur calculée à l'aide de la formule de Stirling,

""~~ a«(w — a)'"-°'\/ 27ra(m.— a)*

En réunissant les termes qui ont pour exposant a et ceux qui ont pour exposant m — a,

2T:a{m — a) Or

(x{m — (x) {mp-hl\/m){mq — l\/m)

■ — tend vers l unité ainsi que ; le radical qui entre

mp mg

dans «a a pour limite

iTzmpmq spi^mpq

Nous pouvons écrire logWa= log-== - « log— - (m - a) log -— -

\/2 TT m/7^ '^A' ''''^

lOg^a— log / ! — (m/?4-Xv^)l0g( IH pr

sJiT.mpq \ p\Jm

{mq — l yjm) log( i = )•

Pour m très grand, nous pouvons développer les logarithmes de I "H p=: et de i 7= par la formule qui

p \Jm q \m

donne le développement de log(i -^x). Ainsi,

{mp -vls/rnjlo^

p s/m devient

{mp -h \\fm) l •

^ ip'-m d>p^m\Ji

Je cherche, en ce moment, une valeur asymptotique de Ua., c'est-à-dire une valeur telle que le rapport de «« à cette valeur tende vers i quand m augmente indéfiniment; je pourrai donc, dans le produit précédent, négliger tous les termes qui tendent vers o, ceux qui contiennent m ou \fm au dénominateur.

11 restera

\sfm 1 j OU À^m-^-—-'

^ ip p 27?

J'en déduirai la valeur du produit

en changeant dans le résultat précédent X en — X et /> en </ ; et la somme de ces produits sera, en définitive,

Ainsi