Quelle est la probabilité pour que X soit compris entre
Je considère dl comme très petit; dl s/m est cependant un nombre entier, ce qui veut dire que dl est de l'ordre
de-L.
Si je donne à 1 un accroissement très petit, l'exponentielle ne changera pas, «« sera sensiblement constant.
La probabilité cherchée est une somme de termes tels que a varie de a h <x -h k^ a et a -+- k étant définis par
a r= mp H- X y//n, a H- /t = mp -h ( X H- <iX ) \/m,
c'est-à-dire que
kz=: dl \[m.
a doit être compris entre les limites
c'est-à-dire qu'il doit être égal à l'un des nombres «4-1, a-f-2, ..., OL -\- k.
La probabilité totale est
11 y a là Â: termes sensiblement égaux à w»; Ifi probabilité cherchée est
ke ^/"7
sJ^Tzmpq
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING. gS
OU, en remplaçant k par dk \Jm^
À* cTke 'P'i
48. Nous sommes donc ramenés à considérer, en posant l'expression suivante
Elle représente la probabilité pour qu'une quantité x soit comprise entre ^et-r-h^^; pour qu'elle soit comprise entre Xq et x^y la probabilité deviendra
'^'' hdxe-^''''
sJtz pour qu'elle varie de — oo à -h oo,
hdxe-f"^^'
En posant hx^jr^ celte dernière intégrale se transforme
ea
dy e-y*
C'est une intégrale connue, dont la valeur est i.
49. Arrêtons-nous sur quelques conséquences de ce calcul. La probabilité pour que X soit comprise entre — oo et -f-oo est I, ce qui paraît une tautologie. Cette conclusion
n'était pas si sûre: Ja formule dont nous nous sommes servis était approchée, et vraie seulement si 1 est petit par rapport à \/m.
.Soit d'abord
a = mp -+- X \/m ; .
la probabilité pour que A soit compris entre. Iq et ^ tendra, d'après ce qui précède, vers
f ' die ^Pl
quand m croîtra indéfiniment. D'autre pari, quand \ et \ s'éloignent indéfiniment, l'intégraiè tend vers l'unilé. Posons maintenant
a> m/>(i — £), et
Soit F (s, m) la probabilité pour qu'il en soit ainsi. Je dis que je puis prendre m assez grand, £ étant donné, pour que
la différence
soit plus petite qu'une quantité donnée yj. Choisissons d'abord un nombre X assez grand pour que la différence
pq
SJi'Kpq
soit plus petite que -• Cela est possible puisque l'intégrale
tend vers i , quand^ augmente indéfiniment. Une fois X choisi, je prendrai m assez grand,
1° Pour que d'où
2° Pour que la différence
\p\/m I J-\ \/7.npq
cela est possible, car, pour X donné, la limite de la probabilité
F( — '-^i m] pour m = co
\P\frn )
est représentée par l'intégrale / .
•^— X On aura alors
En résumé, la probabilité pour que a soit compris entre mp {i —e) et mp {i-[- e), quelque petit que soit e, tend vers l'unité quand m augmente indéfiniment.
50. On peut se demander quelle est la valeur probable de ^«; ce sera par définition
