V^TI
Si n est impair, cette intégrale est nulle. Si n est pair, elle vaut
Nous avons cherché la valeur probable de l'écart en valeur absolue; cherchons la valeur probable de la valeur absolue de ^'^, [^« |. C'est
La fonction sous le signe / est paire; cette intégrale vaut
donc
hx'^ dx
51. Ainsi, dans tous les cas, nous sommes ramenés à cette intégrale, qui se ramène elle-même aux intégrales eulériennes.
Posons
h^x^' — y, d'où
h dxzzz — V. ^ dy.
L'intégrale ci-dessus devient
ou
= , dyy 'y''^^
2 h^^Tl
: j dyy ^ e-y.
C'est l'intégrale eulérienne
h^sfk
Si n est pair et égal à 2 [jl, et, comme
la valeur probable de | x'' \ est
I 1 .3. . .(2jUL f)
Si n est impair et égal à i\i.-\-\, la valeur probable de 1^" I est
ou
h" \Jt:
Faisons n ~ o; la valeur probable de 1 1 1 est égale à i Faisons /< ~ 2 ; la valeur probable de | j:^ | est
Nous avons cberché la valeur probable de {oc — mpY et nous avons trouvé mpg. Ici, nous cherchons la valeur probable de }}, c'est-a-dire du carré de
a — mp
\/7n et? doit être pg.
Cela se vérifie sans peine, puisque
2pg
La valcMir probable de | ^ | est
■ ^ h v/tt
Nous avons cherché la valeur probable de |a — m/?|; c'est le produit par -impq du terme maximum de ^Ua^y irnpqiioi, où a diffère très peu de mp.
Pour calculer ce terme maximum, il suffit de faire X = 0; on trouve
sJiTzmpq
Donc
, la va]
leur
probable de | a — 2 mpq
■mp\
est
'esl-à-
dire
sj2 TT mpq
\ji mpq
On en déduira la valeur probable de |^| en divisant par y^m; on trouve
IBl — '
h \/lz
52. Nous avons cherché la valeur asymptotique, pour m très grand, du terme
en supposant a — mp -f~ >. \/m.
Cette valeur asymptotique de Ua est
\J '271 mpq
Cherchons, maintenant, la valeur asymptotique de «« pour a z=r me.
On trouve, en comparant les deux expressions de a,
1 z=: (e — p) sjm.
On pourrait donc être tenté de croire que la valeur asymptotique est
e ^P9 sJiTimpq
mais cette expression est inexacte.
La valeur exacte de t^a est
Si m et a sont très grands, l'expression asymptotique de Ua. est
^/rtg-/;i^2 7rm
a«e-°'v/2 7ra(m — a)'"-^ e'^"'-'^^ s/^nim — a;
p<3.qm~tx^
Le rapport de ces deux expressions de «a tend vers l'unité, toutes les fois que m ei m — a augmentent indéfiniment, et qu'on a
e tendant vers une valeur finie.
Je vais simplifier l'expression asymptotique de ««
Soit a = £/n; je pose
m — a = e'm, d'où
L'expression asymptolique devient
et, comme m"^= m"^^ x m'"^'
/ 1 y 2'Kmee ^ '
Soit
alors
\ mz ) \mî') y TTwnêl'
sJi'Kinii'
53. Je dis que A est toujours plus petit que i. £, £' restant constants, je fais varier p et q, en les laissant liés par la relation
Quel est le maximum de A?
Ce maximum a lieu quand/j^çr^' est maximum, c'est-à-dire quand p Qi q sont proportionnels à leurs exposants :
E~l — Estl. — ^
Ainsi le maximum sera atteint quand
/?=r£, p.= t', et alors
Arrzl.
Le raisonnement suivant nous fera d'ailleurs mieux connaître les variations de A.
54. Je vais supposer/» et q constants et faire varier £ et £'.
Pour cela, je considère
Comment varie ce nombre? Je prends sa différentielle
totale
s b' de log — h de' lo^' \- de -{- de' ;
elle doit s'annuler pour qu'il y ait maximum. Mais e, e' ne sont pas indépendants. On a
de -\- de' =. o.
Donc
Iog- = log~j
Le maximum sera atteint pour
et ce maximum sera égal à l'unité.
Comment variera A? Je fais e = o, A est égal à q\ je fais £ == I, A est égal à/?.
A part de </, croît jusqu'à j pour £:=/>, puis décroît jusqu'à/?.
