La formule qui donne une valeur approchée de /il est

F (n) tend vers une limite, sj'n:, quand n augmente indéfiniment,

(/l -h 1)1 = (/l -+- I)«-^;le-(«-^-t) ^,1 -H , F(/l -h l).

f02 CHAPITRE V.

On en tire

Il s'agit de savoir si F (n) va en croissant ou en décroissant avec n, c'est-à-dire si le logarithme du premier membre est positif ou négatif.

Je divise le second membre par n-\--\ il reste

L__,og(,+y,

Je pose n =— et je considère la fonction

(p(^) — log(i-+-^),

c'est-à-dire

<^ {n) est-il positif ou négatif? x varie de o à i Pour 07 = G,

?(o) = o; pour:rr=:i,

cp(l)rr: H Iog2.

Comme log2 = o,69. . ., 9 (i) est négatif.

APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING. Io3

Il faut voir si la dérivée s'annule;

4 I Mjc-h\-) — {^c-i~-?.)-

(^-1-2)2 jc -h i (.r-M)(x- ^ 2)-2

Le dénominateur est toujours positif; le numérateur est égal à — ^^ Donc 9'(^) est toujours négatif, par conséquent cp (^) décroît; donc elle reste négative et

Si et l'on a c'est-à-dire

On a aussi

F(/i-hi)<F(/0.

/l rzz I , /i ! =: I ,

F(oo ) =/2~7r.

F (/i) va toujours en décroissant, mais la décroissance n'est pas très grande, car

e=r2,8... et \/27r = 2, 5. . . . 56. Écrivons la valeur de «a»

« OL'^{m~ocy''-^^ ^ y oL{m — a) F(a)F(m — a)

Il s'agit de trouver une limite supérieure de cette expression. D'abord

F(m)<F(m-a), donc

lolique de «a est en même temps une limite supérieure.

57. Quelle est la probabilité pour que a soit plus petit que £/72?

Cette probabilité, II, est

avec Je suppose Je vais d'abord écrire

(3 H- I rr £ /7i ;

Wot «1, .-., i(-^ vont en croissant.

Nous avons une limite supérieure de m^h.,; si donc (3 -hi =:£m,

s/ 2 n m se' ou

Soit maintenant

Alors

n<Mp((3-hi). ■

11 s'agit de trouver une limite supérieure de u.^; je pose

APPLICATION DE LA FOnMLI.i: I>K STIRLING. Io5

uraii

j3 Si — élail éiçal à £, on ni

if^<^

Or, A est une fonction de ^ (jui va en croissant avec £, jusqu'à £ = />, et 9 (£) > G ( '—]-

Comme il s'agit d'avoir une limite supérieure,

D'ailleurs (3 est supérieur à sm — i,

Donc

Pour en revenir à H, inférieur à «p ((3 -+- i), nous remarquerons que j3 ^- I est lui-même inférieur à £ m -f- 1 ; et nous arriverons finalement à une formule un peu plus compliquée que pour gm entier :

sm entier, Il < A"» i / -v— :>

itier, n<A'«i/ —

(£/7i -4- i)'m em non enf-- .. ^ . ,» . ,

Ainsi :

La probabilité pour que a soit plus petit que em, si £ est plus petit que /?, est toujours inférieure à l'une ou l'autre quantité que nous venons de calculer ci-dessus.

Cette probabilité tend vers zéro quand m croît indéfini-

i06 CHAPITRE V. — APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING.

ment, pourvu que e<p. C'est le théorème de Bernoulli, qui peut s'énoncer encore ainsi :

La probabilité pour que a soit compris entre mp{\—B) et mp{i-hd) tend vers l'unité quand, ô restant constant, m croît indéfiniment.