X -h dx et z -\- dz — x — dx
L'aire du parallélogramme est dxdz.
L'intégrale double sera la somme des éléments relatifs à chaque parallélogramme
h h' dxdz—e-'^'^'-'^'*^^-^^*,
Dans une première intégration, y et z doivent être regardées comme constantes et x varie de — oo à -h oo. L'intégrale est donc
hh' C^^
dz—— I g-'h\ji*-à'^z-^)*
Pz=z/i^a:''-^ h'^x — z)\
dx.
l^osons
c'est-à-dire
P = {h^-i-h"')x'-—2h''xZ-^h'^Z%
ou
P=z{ax — by-\-c en posant
b = — c^k'iz^—b''.
Nous avons à évaluer
ou
Posons
celte intégrale est
ax — /> m J;
et finalement, comme ^ ou ^ varie de — oc à h- oo,
La probabilité cherchée, pour que z soit compris entre z
et z-[-dz^ est donc
y/rr «
On a, d'autre part,
h'^h'' ~ li'-\-h'^
La probabilité en question est donc
La loi de probabilité est normale.
La valeur probable de s^ ou de {x -\- yY sera
h-h':^\ ""^ lÂ^-^^Â^'
LA LOI DE GAUSS ET LES ÉPREUVES RÉPÉTÉES. Il3
c'est-à-dire que la valeur probable do {^ -h y)' esi la somme de la valeur probable de ^* et de la valeur probable de y^.
La valeur probable de 2jry est, en effet, nulle ici, et nous ne l'aurions pas su a priori, si la loi de probabilité n'avait pas été normale.
Cette élégante démonstration est due à M. d'Ocagne.
61. Problème des épreuves répétées. — Deux événements contraires, A et B, ont pour probabilités respectives yo et ^. Ainsi une urne contientfj. boules blancbes et v boules noires,
on en tire un très grand nombre de boules m, en remettant chaque Cois la boule sortie dans l'urne. Si l'on a tiré a boules blanches, il y a beaucoup de chances, d'après le théorème
de Bernoulli, que — diffère peu de l'unité. mp
La valeur probable de A^ sera égale à pc/.
Changeons un peu les conditions, de manière que le hasard ne préside plus seul à la distribution des coups. (Considérons deux urnes, la [)remièie renfermant ix boules blanches et v noires, la seconde ix' blanches et v' noires, et convenons de tirer alternativement dans l'une et dans l'autre.
Après un très grand nombre, m, de tirages, a blanches
sont sorties et m — a noires. Alors — sera très voism de p
qui est ici égal à
' 2 jJ. 4- V 2 fJL -h V
Mais la loi des écarts sera-l-elle la même? 11 ne peut en être ainsi.
Il4 CHAPITRE VI.
Supposons que la première urne ne l'enferme que des blanches, la seconde que des noires : nous aurons tiré —
blanches et -^ noires. Alors — sera égal a -> et lecarl sera
nul. p étant aussi -• La valeur probable de V- sera zéro:
eJle devrait être égale à j-, car
La loi des écarts n'est donc pas la même.
62. Je veux montrer que, si une autre ca«se que le hasard intervient, l'écart probable (ou la valeur probable de 1^) sera plus petit que si ie hasard seul avait agi.
Les m épreuves forment deux catégories, l'une de (3/??, l'autre de j3 m épreuves, et Ton a
Supposons que les événemenls A et B aient respectivement, pour probabilités, p el g dans la première catégorie, />' et g' dans la seconde.
L'événement A se présente a fois dans la |)remière; a' fois dans la seconde ; B se présente (3w — a et ^'m — oc' fois.
Le nombre total des épreuves favorables à A sera a -h a';
a sera très voisin de âmp. et a' de Q'mp'; ^ — - et -^^ ,
s'écarteront très peu de l'unité; a -i- a' sera très voisin de ^mp-\-^'mp', c'est-à-dire que l'écart sera de l'ordre de grandeur de s/nif de sorte que la répétition des événements sera à peu près la même que dans une seule série d'épreuves,
LA LOI DE GAUSS ET LES ÉPHEUVES RÉPÉTÉES. Il5
OÙ les probabilités de A el de B seraient respectivement ;3y;+3y et (3.r/ + (3V/'.
Cherchons la loi des écarts. Je vais poser
a =r (3 mj) H- A \f^rn^
Pour l'épreuve totale, ce serait
a 4- a' =r /?i ( [3/> -h (3'/?' ) -h À" \fm,
j3/; -4- (3'/?' élant la probabilité de A dans l'ensemble des épreuves.
Composons les valeurs probables de X-, V-. 1"-, que nous écrirons (X^), (X'2), (V'2). .
Nous aurons
et de même, si le hasard agissait seul^ on aurait
Cherchons sa véritable valeur.
Nous avons
ou
Les deux événements sont indépendants : la probabilité pour que X soit compris entre deux limites données est indépendante de la probabilité pour que X' soit compris entre deux limites données. Les lois de probabilités de Xy/(3 et X' v/{3' seront normales, el la loi de probabilité de leur somme X v/{3 + X' \/[3' sera aussi normale.
1l6 CHAPITRE VF.
La valeur probable de X"^ sera
Telle sera la véritable expression de la valeur probable du carré de l'écart.
Coniparons les deux valeurs; la différence est
ou. en rappelant que |3 -h jS' = I,
{^p + 'p'p'){Pq + ^'q') - {^pq -H (3>V/) ((3 -+- (3'),
c'esl-à-dire
^^\pq' -^p<q-pq—p'q') ou
Or
La différence envisagée est donc positive, et l'on a
63. On utilise cette propriété dans la statistique. On a relevé des observations dans un Tableau, et l'on veut voir si les différences observées sont dues au hasard, ou si le hasard n'intervient pas seul.
On compare, pour un certain nonnbre de cas, le rapport du nombre des arrivées de A à celles de B.
Soient N et N' le nombre total des arrivées de A et de B;
on aura
^ - N 4 N' ' '^ ~ N 4- iN' *
Divisons, maintenant, le Tableau en plusieurs séries; soit
