PROBABILITE DU CONTINU. II
du centre sur la corde, P le i)oint où cette perpendicalaii'e rencontre la courbe et M le milieu de la corde. L'angle POj:, ou 9. est égal à a -i- w.
64. Premier raisonnement. — Le point A peut se trouver en n'importe quel point de la circonférence. La probabilité pour que co soit compris entre o)o et wj est proportionnelle à
la différence —- ^- Le point A .déterminé, la corde peut
prendre toutes les directions possibles, c'est-à-dire que, A élant choisi, je puis faire pi-endre à a toutes les valeurs possibles entre cet -•
La probabilité pour que a. soit compris entre «o ^l «i est proportionnelle à a, ~ ao. Si AB était le côté dii triangle équilatéral inscrit, a serait égal à 60''.
Coirime x peut prendre toutes les valeurs de 0° à 90", la probabilité pour que la corde soit plus grande que le côté
du triangle est
gC^ — 60" I
65. Deuxième raisonnement. — La corde peut avoir une direction quelconque. La probabilité pour que Q soit compris entre ^o et 9, est proportionnelle à 0, — 9,^.
Celte direction une fois choisie, je trace OP : la droite AB sera définie quand je connaîtrai le point M, c'est-à-dire la distance OM ~ p =: cos a.
p peut prendre toutes lés valeurs de o à i ; on doit admettre que la probabilité pour qu'il soit compris entre po et pi est proportionnelle à pi — po.
Si OM est compris entre o et -» la corde est plus grande
que le côté du triangle.
La probabiliié sera donc-- ' 2
Pourquoi celte contradiction? Nous avons fait des hypothèses différentes dans les deux cas; nous avons défini la probabilité de deux manières différentes.
66. D'une manière générale, on demande de définir la probabilité pour qu'un nombre x soit compris entre ^o et x^ : en général, nous pouvons dire que nous n'en savons rien du tout.
Cette probabilité doit dépendre de x^ et de x^ : ce sera donc une fonction telle que P (^0, x^).
Si nous cherchons la probabilité pour que ^ soit comprise
entre ^0 et ^2,
en vertu du principe de la probabilité totale, cette probabilité sera
P(^o, x^) — Vi^x^, ^,)4-P(^,, x^).
Si
x^r=.x^-\- dx^,, on a
P(^o, ^2) — P(^'^o^ -^i) = P(<^o, x^-^dx^).
Cette probabilité sera infiniment petite, et, en divisant par dx^y elle ne dépendra que de x^.
On aura donc dans tous les cas
P(^o. ^\) — / (Sf{x)dx.
Mais nous ignorons /a /la^wre^^^ (p(^) qui reste arbitraire: il faut nous la donner au début du problème par une convention spéciale pour qu'il ait un sens.
De même, la probabilité pour que le point {x, y) soit à
PROBABILITK DU CONTINU. 121
l'intérieur d'une aire donnée est
<s^{x, y)dœdy,
l'intégrale double étant étendue à tous les éléments de l'aire ; mais nous ne connaissons pas cp(^, /).
Le mathématicien n'a plus aucune prise sur le choix de cette hypothèse; mais il doit, une fois qu'elle est choisie, porter son attention à ne pas en faire une autre qui la contredise.
67. On peut avoir plusieurs paramètres x^y oc^^ ., .. Xp, L'intégrale d'ordre /:>,
yX ^y X^y • . . j '^ p ) cix ^ ctx^ • • • cix
définira alors la probabilité pour que les paramètres x satisfassent à certaines conditions, quand la fonction (p définie ; \\ n'y aura qu'à étendre l'intégration à toutes les valeurs de x qui satisfont aux conditions données. Mais cette définition n'aura de sens que quand on se sera donné la fonction <p par une convention préalable.
Je suppose qu'on change de variables et qu'on prenne jKi> JK2, •••?//>; l'intégrale va se transformer en
' àifi.y,, ...,/p)
^dfi dy^ . . . dvp.
à l'aide du jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport aux y.
Cette nouvelle intégrale multiple est entièrement déterminée ; on étendra l'intégration aux limites des y qui correspondent à celles des x, et qui sont connues, puisqu'on connaît les relations qui lient lesr et lés y.
