Autre exemple. — Soil une droite AB, dans tm plan
ses coordonnées tan£renlielles sont - et
Étudions la
probabilité pour que cette droite ait une certaine position, La probabilité pour que a evb prennent toutes les valeurs comprises entre certaines limites peut être, par une première convention, re|)résentée par
da dby
Kig. 4.
où /? — atangw, si co est l'angle de AEf avec 0^.
On peut aussi dire: w peut prendre toutes les valeurs possibles; d'où pour la probabilité
docdtyi.
Ce n'est pas la même chose, et cette seconde convention, qui, après un examen superficiel, pourrait sembler aussi légitime que la première, est en contradiction avec elle; en effet, le déterminant fonctionnel est
COs'ûJ
ei
/ \ dadbzzz i I — - da dd).
J J J J cos-o)
70. Problème du bâton brisé. — On partage un bâton de longueur i, en trois parties .r, /, z.
Nous admettrons que la probabilité pour que x soit compris entre x q\. x -^ dx %^\., par définition, proportionnelle à <f^; entre x^^ et .r,, elle sera proportionnelle à ^i — .^o.
De même la probabilité pour que / soit compris entre y^ et/, sera, par définition, proportionnelle à yi — y^.
La probabilité pour que x et/ satisfassent à certaine^ conditions est alors l'intégrale
dx dv
étendue à toutes les valeurs de ^ et de / qui satisfont à ces conditions.
On pourrait supposer également que celte probabilité est
ou bien
I J dydz, j I dz dxy
puisqu'on peut prendre x et z, ou bien/ et^, comme variables.
Ces trois définitions sont ici équivalentes; on a
/ / dz dx :=z I I dx dv ,
et le déterminant fonctionnel est bien égal à i, puisque
71. Quelle est la probabilité pour que Xy y ei z forment un triangle ?
Traçons un triangle équilatéral- dont la hauteur soit i ;
PROBABILITE DU CONTINU.
Il5
d'un point M, intérieur à ce triangle, abaissons des perpendiculaires sur les trois côtés. La somme des trois longueurs ainsi obtenues sera égale à la hauteur du triangle, c'est-à-dire à i ; elles représenteront les trois morceaux, ^, /, ^, du bâton.
Le point M peut être considéré comme représentant le mode de divi- it sion du bàlon : quelle est la proba-
Fig. 5.
bililé pour que ce point soit à Tintérieur d'une certaine aire? La probabilité pour que a: soit comprise entrera:? eia:-{-dx, et pour que y soit comprise entre y et / -hdy^ est proportionnelle à dxdy. Le point M sera alors dans une aire comprise entre deux parallèles à BC menées à des distances x et X -^ dx de BC, et deux parallèles à AC menées à des distances y et y-^dy de AC. Le parallélogramme ainsi formé a pour angles 120° et 60°, et son aire est
dx dy sin6o°
Fig. 6.
La probabilité sera, dans ce cas, proportionnelle à l'aire du parallélogramme; et, en général, elle sera proportionnelle à l'aire envisagée.
Le point M devant être .à l'intérieur du triangle ABC, la probabilité pour qu'il soit à l'intérieur d'une certaine aire est le rapport de cette aire à la surface du triangle.
Joignons par des droites les milieux A' B' C des côtés du triangle. M doit être à l'intérieur de A'B'C pour qu'on.
puisse former un triangle avec .r, /, z ; si le point M est sur i'un des côtés de A'B'C, f'une des équations suivantes est satisfaite,
si Je point M est en dehors de A'B'C, l'une des trois grandeurs œ, X, z est plus grande que la somme des deux autres. La probabilité pour que l'on puisse former un triangle
avec Xy y, z est donc
72. Problème de l'aiguille. — Sur une feuille de papier, sont tracées un certain nombre de droites parallèles et équidistantes ; leur distance commune est d, et l'on jette au hasard sur It» feuille une aiguille également de longueur d.
Quelle est la probabilité pour que celte aiguille rencontre l'une des droites?
La question peut se poser d'une manière plus générale.
Fig. 8.
Soient deux axes fixes oxy oy, et une figure fixe F invariablement liée à ces axes.
Soient d'autre part deux axes mobiles OX, OY, et une
PROBABILITE OU CONTINU.
figure F, invarial)le de forme, mais invariablement liée à ces axes, et par conséquent mobile avec eux.
Définissons la position de la figure mobile par rapport aux axes fixes.
Soient M un de ses points, MP une droite passant par M et invariablement liée à la figure Fi : il suffit de définir la position de MP par rapport a jcoy. Cette position est définie par
les coordonnées ^,7 du point M et l'angle w de MP avec o^. La probabilité pour que M satisfasse à certaines conditions est proportionnelle à
fff
dœ dy d(j) .
Pour justifier cetle définition, je vais montrer qu'elle est la même quand je prends un autre point M' de la figure mobile, ainsi qu'une autre droite MT'.
La droite M'P' sera invariablement liée à MP.
Soient / la longueur MM', a l'angle de MM' avec MP et |3 l'angle de M'P' avec MP : /, a, j3 sont des constantes.
La droite M'P' est définie relativement aux axes xoy par
les coordonnées x\ y' du point M' et l'angle w' de M'P' avec ox.
Si la probabilité pour que la figure mobile satisfasse à certaines conditions est, d'après la première évaluation,
elle sera aussi
III dx dy <:/ùl), f f fdx'dy'dw'.
Le déterminant fonctionnel est en effet égal à l'unité; on a, par projections,
J?' zrz :c 4- / COS ( 0) -h a ),
y' = j 4- / sin ( oj -h a ) ,
et le déterminant fonctionnel —r-, — — est
I G — / sin(Go -+- a) G I /cos(a}4-a)
c'est-à-dire i.
La loi de probabilité est donc la même, quelle que soit la droite MP choisie.
73. Si je considère deux figures 9, cp', égales entre elles et invariablement liées aux axes mobiles, la probabilité pour que 9' satisfasse à certaines conditions est égale à la probabilité pour que 9 satisfasse aux mêmes conditions. Considérons une droite MP invariablement liée à 9 et une a'utre droite M'P' dont la position par rapport à 9' est la même que celle de MP par rapport à'9 ; soient x^ y, co, d'une part,
PROBABILITE DU CONTINU. 129
x' y y, w', d'autre part, les quantités qui définissent ia position de ces deux droites.
La position de cp est définie par ^, 7 et w ; celle de 9', par x\ y' , &)'. Pour que 9 satisfasse à certaines conditions, ^,/,to devront satisfaire à certaines inégalités.
Pour que 9' satisfasse aux mêmes conditions, x', /', w' devront -satisfaire aux mêmes inégalités. A la différen-ce près des notations, on retombe donc sur la même inté-
Fig. 10.
grale.
La valeur de la probabilité est doncla même dans les deux cas.
74. On demande la probabilité pour qu'un segment de droite limitée, MP, rencontre les parallèles du problème de l'aiguille. Si une seconde droite, M'P', de même longueur^ est invariablement liée à MP, la probabilité pour qu'elle rencontre les parallèles sera la même.
Si, au lieu de MP, on considère une droite deux fois plus longue, MQ, la probabilité sera doublée, puisqu'elle se compose de deux droites égales à MP, à savoir MN et NQ, N étant le milieu de MQ.
Je suppose qu'on promette à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection de la droite avec les parallèles (*). L'espérance mathématique du joueur avec MQ sera double de son espérance avec MN, puisqu'elle sera celle qu'il tire de MN augmentée de celle quMI tire de NQ. En général, elle sera proportionnelle à la longueur de la droite.
(*) Bien entendu, si l'une des extrémités de MN tombe sur une des parallèles, cela comptera pour une demi- intersection.
i3o CIIA.PITRI<: vu. — PROBABILITÉ DU CONTINU.
Si NQ n'est pas dans le jirolongement de MN, l'espérance niathénialique esi encore doublée. L'espérance niathématiqne est donc proportionnelle à la longnenr totale delà ligne, qu'elle soit droite ou brisée, ou même, en allant plus \q\u^ quelle que soit sa forme.
Si l'on promet autant de francs que de points d'intersection de la courbe avec les parallèles, l'espérance matbématique sera ainsi proj)ortionnelle à la longueur de la courbe.
Si la courbe est une circoiderence de diamètre d, sa longueur sera Tir/; dans ce cas, il y aura toujours deux points d'intersection, l'espérance matbématique sera donc 2. Pour
une courbe de longueur.?, cette espérance sera — ' pour une droite de lon2:ueur d, ce sera -•
75. Revenons sur le paradoxe de J..P>erlraMd relatif. à la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence soit plus petite que le côté du triangle équilaléral inscrit.
Traçons une cii'conférence C, concentrique à la première C et dont le rayon soit la moitié du sien. Plaçons au hasard une droite dans le plan. Si nous adoptons la convention faite lout à l'heure au sujet de l'aiguille, la probabilité dépendra-t-elle d'une nouvelle et troisième hypothèse, ou bien de l'une des deux iirécédemmenl examinées?
Je puis supposer la droite fixeetlescirconférençesmobiies. La probabilité pour que l'une des circonférences coupe la droite est proportionnelle à sa longueur; la probabilité pour que G' rencontre la droite est donc le rapport des longueurs
des deux circonférences, c'est-à-dire-- On retombe ainsi
sur l'une des hypothèses de .1. Bertrand.
APPLICATIOiNS DIVERSES.
76. Prenons encore un problème analogue au problème de l'aiguille :
Sur une sphère S on trace une figure mobile ; quelle est la probabilité pour que cette figure satisfasse à certaines conditions ?
Comment définir d'abord la position de cette ligure?
Soit Po la position initiale, Pi la position finale de la figure mobile : on passe de l'une à l'autre par une rotation convenable, définie par Taxe de rotation et l'angle de rotation.
Soient a, (3, y les cosinus directeurs de l'axe, et 2 0 l'angle de rotation ; posons
Ar=cos9, /jL = asin0, vr-psin0, p=rysin5,
et prenons X, [x. v, p comme variables. Elles sont liées par une relation
Je retrouve la même relation, si je change les signes de >., /JL, V, p, et il suffit de connaître trois de ces quantités.
Je suppose la probabilité représentée par une intégrale
triple
d\j, (hi dp
elle sera représentée aussi par
dX dv dp
Cherchons en effet le déterminant fonctionnel des nouvelles variables X, v, p par rapport aux anciennes fz, v, p, et supposons X défini en fonctions de /Jt., v, p.
ï.dl:=~ — /JL dix — V dv — pdp.
Le déterminant fonctionnel est
Ainsi, au signe près, par le changement de variables, l'élément de l'une des intégrales triples devient l'élément
de l'autre intégrale, après multiplication par -• Donc
dfx dv dp
A ./ ix
dl dv dp
donnent donc bien la même définition pour la probabilité.
Voici comment ze ustifie cette convention : considérons la sphère
JT^ -h }^* -4- 2* = I .
Supposons que la probabilité pour qu'un point quelconque de la sphère se trouve à l'intérieur d'une certaine aire
APPLICATIONS DIVKKSES. t33
sphérique soit proportionnelle à cette aire. Cette aire s'exprimera par l'intégrale
dx dy rdxdy cos n2é
cos n\ étant le troisième cosinus directeur de la normale à la sphère au point considéré.
Nous avons fait ici une hypothèse tout à fait analogue, car
serait l'équation d'une sphère dans l'espace à quatre dimensions.
77. Je suis parti précédemment de la position initiale Po. La rolation X, pt, v, p ne dépend pa» seulement de Pi, elle dépend aussi du choix de la position initiale P©.
Je vais démontrer que la probabilité reste la même, si, au lieu de la position initiale Po, on en considère une autre P'^.
La rotation de P^ à Pj sera définie par X', ^', v', p', et la probabilité sera. définie par
dix'dv'dp'
Je dis qu'elle sera proportionnelle à la précédente.
/, m, n, r définissant la rotation de P^ à Po, la rotation V, [i.'y v', p' sera la résultante de deux autres. Les formules connues de la composition des rotations sont
V z^zTil — jjL/n — vn — p/', |jt'=rXm-f-/uL/ — vr -h p/i, v'r=:X/i -h |JL/- -hv/ — pm, p'r=Xr« — lin H-vm-hp/.
ï34 CHAPITRE VIII.
11 s'agit maintenant de calculer le déterminant fonctionne^
de a', '/, v', p' par rapport à l, jul. v, p. Je pose
Ici (7=1, mais je puis supposer à X, j7., v, p des valeurs quelconques au lieu des valeurs véritables. De même
Quelles que soient ces valeurs, on a
cr' — cr V /2 -h m2 j ^2 ^ ,.2^ et si /, m, n, r ont les valeurs constantes données,
il s'agit de' calculer
àiix, V, p) ' en supposant a— i, c'est-à-dire
àj£ dijJ djj^
à[j. dv dp
࣠âv^ âv^
à^J. ôv 'dp
^ ûîL ^
àiJ. dv dp
Mais je vais porter le nombre des variables à 4, et considérer, d'une part a, ^, v, p, d'autre part <j', ij.\ v', p\ Comme
a'=:cr, les dérivées partielles de a seront i, o, o, o
ÔIJJ
dv' (h
dix
dp'
à?' dix
du' dv
dp
àv'
âv.
dp'
ôq'
C'est bien ie même déterminant fonciionnél ; on j)eut donc déjà écrire
âiij.'ry.p') ^d{a',iJ.',v',p')
__ âji', iJ.\v', p') â{}.', ij.',v\p') ôÇa, /jl, v,p) ' (){}.', ix'.v', p' ) ()(}., a, v,p) à{(j. p.,v, p}'
Evaluons successivement les trois derniers déterminanis fonctionnels. Le premier est
â(j' ôq' ôrr' da' \
âV
dv'
dp'
dG
~ dl'
Le second est
— ni
ii'-^ m2+ n^ -^ r^Y
Le troisième est
dù^u-.v, p)
dO-, fx, V, p )
l36 CHAPITRE VIII.
Le produit des trois est donc yj et l'intégrale
se transforme en
ou
dfj. dv dp
La définition de. la probabilité reste donc la même, quelle que soit la position initiale.
78. On demande la probabilité pour que cette figure P,, satisfasse à certaines conditions.
Si on considère une autre figure PJ, égale à la première et invariablement liée à celle-ci, on peut demander aussi la probabilité pour que cette seconde figure satisfasse à certaines conditions. Soient alors 1, /ul, v, p les paramètres de la rotation qui amène Po en P,, et >/, |u.', v', p' ceux de la rotation qui amène P'^ en P,.
La probabilité pour que Po, venu en Pi, satisfasse à certaines conditions, est représentée par
diJ. dv dp
les paramètres X, fz, v, p devant satisfaire à certaines inégalités.
La probabilité pour que Po venu en P, satisfasse duxrnémes conditions est représentée par
dix'dv'dp'
les paramètre^ >/, jtx', v', p' devant satisfaire aux mêmes inégalités. Les intégrales, ne différant que par les notations, sont identiques, et la probabilité reste la même.
Les probabilités pour que deux figures mobiles, égales, et invariablement liées l'une à l'autre, satisfassent à une même condition, sont donc égales entre elles.
79. Choisissons une autre forme où n'apparaîtront pas X, iiy V, p.
Je définis la position d'un point M de la figure mobile par ses coordonnées x, ^, z et celle d'un arc de grand cercle MP par l'angle w que fait MP avec MA, MA étant un arc de grand cercle qui passe. par un point fixe A.
La probabilité s'écrira
W dx dy d(Mi^
où W est une fonction de x, /, z et w.
En prenant
dxdy ^=izda
d(j est l'élément de surface de la sphère et l'intégrale devient
^d(jd(ii.
Cette intégrale doit être étendue à tous ceux des éléments (T de la surface de la sphère et à toutes les valeurs de l'angle co qui satisfont aux conditions. En revenante j:? et/ comme variables, elle s'écrit
.dxdy .
^ -^dtù.
80. Je dis que la forme de ^ reste la même quelle que soit la position de A.
Considérons un autre point fixe B> et soit w' l'angle de MP avec MB, [3 celui de MB avec MA.
a)'= co -r- S.
Fig. II.
P Au lieu de x^ y, w, les variables seront Le aetermînant fonclionnel -- — '■ est
0{x,f, co)
égal à
dx dy
81. La fonction # est indépendante de co. En eïîei, considérons un autre arc de grand cercle MF', et soit cù" l'angle de MP' avec MA, a l'angle de MP' avec MP
co" --= w 4- a . . . • .
La loi de probabilité ne sera pas changée. I (^ do d(ù
exprime la probabilité pour que MP satisfasse à certaines conditions.
^ da dfji''
fi
exprimera la probabilité pour que MP' satisfasse à ces mêmes conditions. Ces deux probabilités doiventêtre égaies,
<^ ne dépendra donc pas de w.
82. La fonction <î> ne dépend pas non plus de xely. Soient en effet da et da' deux éléments de surface de la
sphère égaux entre eux. Soient l,m, n, r les paramètres d'une (les rotations qui change da en d<j'. Soient X, /jt., v, p ceux d'une rotation qui amène la figure mobile dans une position telle que M soit intérieur à da. Soient V, p.', v', p' ceux d'unerotalion qui amène M à Fintérieur de <:/cr'.
Soient a:, y les coordonnées du centre de gravité de ^o-; œ' , y celles du centre de gravité de r/cr'. ^^'S- ''•
Les paramètres X', p.', v', p' seront des fonctions linéaires de >., Il, V, p d'une part, de /, m, n, r d'autre part ; |on n'a, en effet, qu'à se reporter à la formule de composition des rotations citée plus haut. On aura d'ailleurs, comme nous l'avons vu plus haut,
dixdvdp rdix'dv'dp'
/ dixdvdp /
La i)robabilité pour que M soit intérieur à d(j est
les paramètres A, p^, v, p devant satisfaire à des inégalités qui expriment que la rotation correspondante amène M à l'intérieur de da^ et l'intégrale étant étendue à toute^Jes valeurs de ces paramètres qui satisfont à ces conditions. La probabilité pour que M soit intérieur à da' est
rf./ / /x ^ / rdu' dv' dp' 2Ti9{œ',y)dcr'= I ^ — î-
l4o CHAPITRE VIII.
On a donc
ou y puisque do- =d(T'i
l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de fz', v\ p' qui sont telles que la rotation X','fx', v', p' amène M à l'intérieur de d(ï'; ou, ce qui revient au même, telles que la rotation X, IX, V, p amène Ma l'intérieur de û?o-.
83. Nous avons ainsi écrit la loi des probabilités sous une autre forme, mais c'est la même bypothèse que celle que nous avons faite, quand nous prenions pom* variables X, /ui, V, p. En résumé, la probabilité pour que M soit à l'intérieur d'une certaine aire da, el, en même temps, pour que MP fasse un angle co avec MA, est
^ d(J d(Aiy
et ^ est une constante à détertniner.
Étendons l'intégrale à tous les éléments de la sphère; l'angle w variera de o- à 2 tu, et o* de o à ^t:. L'intégrale aura pour valeur
mais alors la probabilité sera égale à i. Donc
et
"dadoy
y'dfjdb
