OU J
f*dx dy d(ù
est la loi des probabilités.
APPLICATIONS DIVERSES. l4l
84. Soient, sur la sphère, une courbe fixe et une courbe mobile; on promet à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection : quel est son espérance mathématique?
Elle est proportionnelle au produit des longueurs des deux courbes.
85. Si l'on considère une figure mobile cp et deux figures fixes cpi, 92» la probabilité pour que 9 ait une position relative donnée par rapporta 91 est la même que la probabilité pour que 9 ait la même position relative par rapport à 95.
Autrement dit, supposons que Xj /jl, v, p définissent la rotation qui amène 91 dans une position 9'; prenons comme variables nouvelles V, /jl', v', p' qui définissent la rotation qui amène 92 dans cette même position 9' : nous retrouverons la même loi de probabilité et nous aurons comme plus haut
rdjxdvcip fi
dixdvdp fditJdv'dp'
La rotation V , //.', v', p' est la résultante de deux autres, X, |JL, V, p et /, m, n, /•; cette dernière, celle qui amène 92 dans la position 91, peut être considérée comme donnée, et le calcul du déterminant fonciionnel de f/, v, p par rapport à [).' y v', p' est le même que dans la leçon précédente.
Cela posé, je ne conserverai pas les paramètres X, |ul, v, p, dont la signification géométrique n'est pas simple, et nous reviendrons aux variables a;, y et w du paragraphe 79.
86. Soient, sur la surface sphérique, M un point de la figure mobile ayant pour coordonnées Xy y, z; et MP un arc de grand cercle appartenant à la figure mobile et faisant
CHAPITIIK Vîll.
un angle co avec l'arc de grand cercle MX qui passe par un point fixe A.
I" Quelle est la probabilité pour que M soil dans une aire d(jy lorsque o) varie de o à 27:?
C'est
J ~WF~ ~'^'
2^» Quelle est la probabilité pour qu'un cercle mobile de la sphère coupe un cercle fixe?
Soient P le pôle du cercle fixe, À le point où il coupe le tableau, et 0 l'angle POA.
Soient P', A', 0' les données analogues pour le cercle mobile.
Soit 9 l'angle POP'.
Fig. i3.
Fie. i4.
La condition nécessaire et suffisante pour l'intersection est qu'on ait à la fois
en supposant 6 > 9'.
Représentons la zone BCB'C' dans laquelle le pôle P' du cercle mobile doit se trouver; par projection sur le plan du tableau, les deux petits cercles qui la limitent seront figurés
APPLICATIONS DIVERSES. l43
par (les droites BB', CC ; l'angie POB sera égal à 9 — B' , et. l'angle POC à B -^ Q' .
La probabilité cherchée sera proportionnelle à la hauteur bc de cette zone. Or,
bc — Oh-Oc~Q.o^{B — B') -cos{B-h B'), bczz: 1 sinQ sin^'.
87. Le problème peut être plus général. Soient : i*' /larcs de grands cercles fixes Ci, Cj, • . -, C„, égaux entre eux et de longueur /; i"" n' arcs de grands cercles mobiles, invariablement liés les uns aux autres et de même longueur /,
Je cherche les points d'intersection des arcs mobiles avec les arcs fixes et je promets autant de francs que de points d'inlerseclion.
L'espérance mathématique du joueur sera proportionnelle à jin' .
La probabilité pour que C, rencontre Ci est la même que pour que Cô rencontre G,, etc., d'après la démonstration de tout à l'heure.
Elle reste encore la môme pour que C, rencontre C2, etc.
L'espérance mathématique sera d'autant de francs que l'on peut faire de combinaisons de l'un des n preniiers arcs avec l'un des n' seconds. Supposons même que ces derniers aient une longueur 7' différente de / : l'espérance mathématique sera nn'lV .
Si l'on considère deux lignes brisées formées d'arcs de grands cercles, l'espérance mathématique sera encore proportionnelle à leurs longueurs, car, si l'un des éléments était double, l'espérance mathématique correspondante doublerait.
ï44 CHAPITRE VIII.
A la limite, cette conclusion sera encore vraie et, en général, l'espérance mathématique sera proportionnelle aux longueurs s et 5' des courbes. Elle sera Kss\
Cherchons K.
Supposons deux grands cercles: leur longueur commune sera 2u, et ils se coupent en deux points; l'espérance mathématique sera K x 4^1^ et, comme elle sera égale à 2,
Pour deux petits cercles, l'espérance mathématique sera — -• S'il V a intersection, il y aura deux points d'intersec-
tion. Or
s' ■= 2 7: sin9'.
L'espérance sera
C'est ce que nous avons trouvé plus haut, d'une autre manière.
88. Supposons sur la sphère céleste un nombre N d'étoiles placées au hasard.
Promettons à un joueur un franc pour chaque couple d'étoiles tel que la dislance angulaire des deux étoiles, P et P', soit plus petite que y. Quelle est son espérance mathématique ?
P' devra être à l'intérieur d'une certaine zone. La surface
de cette zone est proportionnelle à sin'^ . Pour y = tt, la
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surface est celle de la sphère entière; la probabilité est donc
sin*-
sm*-
