Je suppose cette probabilité proportionnelle à
\dœ\dœ\, . .dx\dy\dy\. . .dyl.
k étant une constante.
On peut supposer qu'on ne sait rien sur les valeurs initiales, et qu'on sait seulement que F est compris entre Fi et F2; comme F = const. est une intégrale des équations du mouvemcTit (c'est l'intégrale des forces vives), si la valeur initiale de F est comprise entre F, et Fg, F restera comprise entre Fjet Fa-
L'intégrale précédente, étendue à toutes les valeurs qui satisfont à
sera égale à i.
SI cette loi de probabilité est vraie pour les valeurs initiales des variables^ elle le sera encore pour les valeurs finales.
Il suffit de démontrer que le déterminant fonctionnel des valeurs finales par rapport aux valeurs initiales est égal à l'unité.
Soient v)?', . . .,y', . . . les valeurs des .2?, . . , ,y, . . . au temps t' \ x,j . . . , y, ... leurs valeurs au temps t. Il n'y a qu'à établir cette proposition pour t et t' très voisins.
Soit
Je vais, pour simplifier, examiner le cas de deux variables :r et de deux variables /.
dxi dF
CVa Xa ~^~ £ I j
APPLICATIONS DIVERSES. l47
et
dF
dx,
Le déterminant fonctionnel
est
d'Y dxi o/i
d'F dXo dfi
«f'fF
dxi dy.2
dx^ dy^
^ dy^ dy.
dx^dx^i
^ dx, dy,
dxx dy., d}Y
dx^ dy^ d'^F
dx^dx^ dx\ dx^dy^ dx'2,dy^
Je dévelojèpe en négligeant le carré de. s. Tous les éléments du déterminant sont infiniment petits du premier ordre, sauf les éléments de la diagonale.
Tous les termes seront du second ordre au moins, sauf dans
dxidyj\ dx^dyj\ dx^dyj\
dx^ dy^J ou
[* ^ \dx^dyj J [ ^ \dxtdy^) \ c'est-à-dire i, aux termes près en £*.
91. Adoptions de lois probables. — De tout ce qui précède, il résulte qu'il faut apporter un très grand soin à définir le choix de la loi de probabilité qu'on adopte.
La probabilité pour que x soit compris entre x^ et x^
l48 CHAPITRE VIII.
s'exprime par une intégrale
(p{ûc)dœ;
cp (j?) sera une fonction sur laquelle nous devrons faire des hypothèses pour connaître la loi de probabilité, mais, en général, orî'sera conduite regarder (p(^) comme continue. En général, la probabilité que ^satisfasse aune condition donnée dépendra du choix de cp; cependant, il n'en est pas toujours ainsi, et certains problèmes sont indépendants de la loi de probabilité.
Exemple, — La probabilité pour que x soit incommensurable sera toujours égale à i, quelle que soit la fonction continue 9 que l'on choisisse, et celle pour que œ soit commensurable, toujours infiniment petite.
92. Second exemple, — Soit une roue divisée en un très grand nombre dé parties égales, alternativement rouges et noires; imprimons-lui une rotation rapide. Lorsqu'elle s'arrêtera, une dé ses divisions se trouvera en regard d'un ()oint de repère fixe : quelle est la probabilité pour que cette division soit rouge ou noire?
Pour être complètement résolu, le problème exigerait la connaissance d'une fonction arbitraire; il dépendra de l'impulsion, de la vitesse angulaire initiale, La probabilité pour que cette vitesse soit comprise entre wo et Wj est
(p(co) d(3if
la fonction 9 étant entièrement inconnue.
D'un autre côté, la roue aura tourné d'nn angle total 0, La
probabilité pour que 9 soit compris entre Sq et ^^ est
dd.
Nous ne savons rien non plus sur f{S), Néanmoins, la probabilité, pour que la division obtenue soit rouge, sera
toujours très voisine de -; elle est donc indépendante de/.
Je suppose que chaque division corresponde à un angles; je divise l'axe des abscisses en parties égales à £, ei, par les points de division, je mène des ordonnées jusqu'à la rencontre de la courbe
Comme les divisions changent de couleur, je couvre de hachures les aires qui correspondent aux divisions rouges, par exemple.
La probabilité cherchée sera le rapport de l'aire couverte de hachures à l'aire totale.
Fig, i5.
Quelle que soit la forme de la courbe, quand le nombre des divisions augmente indéfiniment, ce rapport tendra
vers -
l5o CHAPITRE VIII.
Soit, en effet, A l'angle maximum dont la roue peut tourner de telle sorte que 0 < A. Supposons la fonction /(0) continue et "admettant une dérivée. Admettons de plus que cette dérivée ne dépasse pas un ceriain maximum, M. Donc
Je divise A en n parties égales; soit s l'une d'elles. On a
Considérons deux divisions consécutives : la différence des deux aires est plus petite que £ (p. — jjl') où/j^ et ij.' désignent respectivement le maximum et le miuimum de f{9) dans cet intervalle. Or (]Ji— ju.') est plus petit que 2M£ : la différence des deux aires est plus petite que 2Me^
Gomme il y a -aires couvertes de hachures, il faut multiplier par — pour avoir la différence des deux aires totales,
ce qui donne Me-n ou MAs.
La différence des deux aires tendra donc vers zéro avec
£ et la probabilité sera bien -•
Si on ne savait rien du tout sur cp ou sur/, on ne pourrait rien calculer : c'est parc6 qu'on sait quelque chose que l'on peut entreprendre le calcul. Mais ici il nous suffit de savoir que/ a uTie dérivée limitée.
93. Troisième exemple, — Considérons un grand nombre de planètes, dont les orbites soient sensiblement circulaires. Soient a le moyen mouvement de l'une de ces planètes, b sa longitude à un instant donné pris comme origine. Sa longitude /au temps ^sera : "
i=z at -\-h.
APPLICATIONS DIVERSES. l5l
La probabilité pour que a ol b salisfassent à certainf's conditions est
'^{a, h) dadb.
Je dis qu'au bout d'un lemp^ très long les planètes seront également distribuées dans tous les signes du zodiaque.
La probabilité pour que /soit comprise entre des limites données sera donc indépendante de '-^.
Cherchons la valeur probable d'une fonction e'^"' : si. m est différent de zéro, la valeur probable tendra vers zéro quand / augmentera indéfiniment. Cette valeur probable est représentée par
fj
(^ini{at+h} r^(a, h)dadb.
Intégrons par parties; il vient
/ :— CD db— / : r- ^^^^ ^*^^-
. J iint ^ J J imt da
Si nous supposons seulement 9 continue, les deux termes ci-dessus tendront vers zéro.
Je demande la valeur probable d'une fonction périodique quelconque,/!/). La formule de Fourier nous donne
/(/)=:iA,,.e''«^.
Chacun des termes de cette série aura pour valeur probable zéro, sauf le terme constant Ao- La valeur probable de/(/) sera donc
Ao=— ("^ f{l)dL
Supposons qu'on ait
l5a CHAPITRE VIII. — APPLICATIONS DIVERSES.
la probabilité pour que / soit compris entre /© et /, est
C'est la valeur probable trune fonction/ (/) égale à i si / est compris entre Iq et /,, et à zéro dans le cas contraire.
Si t est quelconque, quel que soit cp, la probabilité sera sensiblement proportionnelle à li— ta; la distribution des planètes sera uniforme
