PROBABILITÉS DES CAUSES
94. Nous allons aborder les problèmes connus sous le nom de probabilités des causes.
Les problèmes que nous avons traités rentraient dans l'énoncé suivant : étant donné que telle cause est mise en jeu, quelle est la probabilité que tel effet en résultera?
Les problèmes inverses sont: étant donné que tel effet s'est produit, quelle est la probabilité que telle cause a été mise en jeu?
Le type de ces problèmes est celui de deux urnes dont la première contient beaucoup plus de boules blanches que l'autre : on a tiré une boule blanche, mais on ne sait pas de quelle urne; il y a plus de raisons de croire la boule sortie de la première urne que de la seconde.
Pour donner une définition, il faut faire une espèce de convention, comme au début de toute question de probabilité.
Quand on compare le nombre des cas possibles au nombre des cas favorables, on doit avoir soin que tous les cas soient également probables. La convention (|ui repose sur des cas regardés comme également |)robables contiendra toujours un très large degré d'arbitraire.
D'un jeu de 32 cartes, on tire une carte : on sait que c'est une figure; quelle est la probabilité qu'or» a tiré un roi?
l54 CHAPITUE IX.
Avant l'événement, la probabilité était le rapport du nombre des rois au nombre total des cas possibles, soit ^
Après l'événement, le nombre des cas favorables est toujours 4; le nombre des cas possibles est diminué, c'est celui
des fîi^rures, soit 12. La probabilité egt devenue — ou 1-: elle
a augmenté.
95- Formule de Bayes. — Soient a causes différentes qui peuvent être mises 'en jeu, Ci, C,, ..., G„; la probabilité pour que la cause Q, si elle est mise en jeu, produise l'événement A est/?/. .
Si nous savions que Ci est en jeu, nous pourrions affirmer que la probabilité de A est /?i.
Il faut supposer que deux causes ne peuvent être mises en jeu simultanément.
Avant Tévénement, chacune de ces causes avait une probabilité a priori que je suppose donnée : la probabilité que la cause C,: soit mise en jeu élnit-GT/.
L'événement A a eu lieu: quelle est la probabilité que ce soit la cause Ci (lui l'ait produit?
Enumérons les cas possibles et les cas favorables, et, pour fixer les idées, considérons un exemple parliculier.
M urnes contiennent chacune. Q boules; il y a MQ boules, soit MQ cas possibles^ que je suppose également probables.
Les urnes sont réparties en catégories Ci, C21 ..., C«.
Les urnes de la calègorie Ci seront au nombre de (Sy,M; de la catégorie C2, au nombre de cjgM; ...; de la catégorie Ç», au nombre de w„M.
La probabilité a priori pour que la cause C„ soit en jeu
PROBABILITÉS DES CAUSKS. t55
sera
Dans ies urnes, les boules sont noires ou blanches. L'événement A est, par exemple, là sortie d'une boule blanche. La probabilité pour lirer une boule blanche de la première catégorie sera y'?!.
Dans la catégorie Gi, il y aura /?jQ boules blanches; dans la catégorie C2, il y. en aura^/^gQ? .-«i f^ans la catégorie C^, il y en aura pnQ-
On a tiré une boule blanche; on derriande la probabilité poui' que l'urne qu'on a choisie appartienne à la catégorie C,-.
Le nombre des cas favorables est le nombre des boules blanches de la catégorie C/, soit w^p/MQ.
Le nombre total des cas possibles est celui des boules blanches
Le rapport de ces deux nombres est, par délinition, la probabilité cherchée
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