On peut dire encore
La probabilité que la cause G/ ait été mise en jeu, puis que, mise en jeu, elle ait produit l'événement A, est une probabilité composée.
D'abord la cause G/ doit être eh jeu, et sa probabilité a priori est TDi; ensuite, mise en jeu, elle donne à A la probabilité p^. La probabilité composée ester,/?/.
Mais la question se pose autrement.
Il faut que l'événement se soit produit, et ensuite qu'il
l56 CHAPITRE IX.
doive être attribué à la cause Q. C'est encore une probabilité composée.
La probabilité pour qu'il se produise est
^1 />i -^T cTi/>2 -h . . . H- oTrt /?„ ;
la probabilité {si Von sait qu il s'est produit) poiir qu'il soit dû à la cause d étant j?, la probabilité composée pour que l'événement se soit produit et soit dû à la cause C, sera donc
d'où
Ou bien encore, partons de la formule
(B)(A siB)r=r(A)(Bsi A), démontrée au paragraphe 12. Écrivons
(G,)(AsiC,) = (A)(C,siA).
(C) c'est la probabilité a priori de la cause, sans savoir si l'effet A s'est produit : c'est gt,.
(A si Ci) c'est la probabilité de l'effet, sachant que la cause Ci a agi : c'est/?/.
(Ci si A) c'est la probabilité a posteriori de la cause, sachant que l'effet A. s'est produit : c'est jc.
La probabilité (A) est une constante, indépendante de C^.
L'égalité précédente exprime donc que (C/ si A) est proportionnel au pro<luil (C,) (A si C,); c'est-à-dire que ûo est proportionnel à Pixni.
97. A l'écarté, un adversaire donne et tourne le roi; quelle est la probabilité que ce soit un grec?
PROBABILITÉS DES CAUSES. \5y
Soient Wi la probabilité a priori pour qu'il ne soit pas grec; CT2, pour qu'il le soit. Dans le premier cas, la probabilité pour qu'il tourne le roi est ^; dans le second, elle est i. La probabilité a posteriori qu'on a affaire à un grec est
Si l'on suppose cja^cji, dans l'ignorance où l'on est de
l'honnêteté de son adversaire, -cette probabilité est de -•
«7 Elle serait donc énorme.
Fort heureusement, il est permis en général de supposer
a priori y
98. Dans une urne, dont la composition est inconnue, il y a N boules; nous effectuons /jl tirages, en remettant chaque fois la boule tirée, et nous ne tirons que des boules blanches. Quelle est lia probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches?
Soit cj„ la probabilité a priori pour qu'il y ait n blanches et soit Pn. la probabilité pour qu'on amène fx blanches.
Après les tirages, la probabilité pour que l'urne renferme n blanches est donnée par la formule, et, après la suppres-
sion du facteur ( -^ ) » commun aux deux termes de la fraction, elle est égale à
GJ, I H- -h cy2 2f^ -+- . . . -h GJn Ni*
l58 CHAPITRE IX.
99. Il faut connaître a priori ctj, tDj, ••., gt^, sur lèsquelles on peut faire plusieurs hypothèses.
Supposons, par exemple, que toutes les compositions de l'urne sont également probables, c'est-à-dire tous les gj
égaux. Chacun d'eux vaudra r^ ? car il y à N-hi com-
positions possibles de l'urne, en comprenant celle oii il n'y a aucune boule blanche. La fraction précédente se réduit à
lt^+2H--h.,...4-NH-
Supposons, en second lieu," que l'on ait placé successivement les N boules dans l'urne, les unes blanches et les autres noires, en laissant au sort chaque fois le soin de décider la couleur.
La probabilité qu'on mettra une blanche sera chaque
fois - j et la probabilité que, finalement, sur N boules, l'urne en contiendra 71 blanches sera évaluée par la formule
tTi ' ^ 0^0'"^-%
al ^rn — oc)l/ ^ ^ où l'on fera
AT -ï
ce qui donne
Ainsi la'probabilitéttjoA-ior/Trrn, pour qu'il y ait /i blanches, sera proportionnelle à un coefficient du binôme-, et, dans l'expression de la probabilité a posteriori pour qu'il y ait n blanches, nous n'aurons qu'à faire les ci égaux à ces divers
coefficients,
nI(N — /i)!
PROBABILITES DES CAUSES. l59
100. Le résultat sera très diiïérent du précédent. Soit N très grand;
sera un polynôme de degré p. -+- 1 en N, que je puis réduire
à son terme de degré le plus élevé, — •
La probabilité dans la première hypothèse deviendra ainsi
/i^(iui-hi)
et, pour /JL — 2, par exemple^ elle vaudra -^^j--
Dans la seconde hypothèse, évaluons d'abord rn^n^^, pour la même valeur 2 de li..
ni {^ ~ 71)1 ÉA^aluons ensuite le dénominateur
^Jl I (^ + îiJ2 2i^ -t- . . . -h W^' NJ^
Pour cela considérons l'expression
I -h e'^mi -f- e^^TJS^ -h ... H- e^-^ny^^ qui n'est autre que le développement de
Je différentie deux fois par rapport à jr
11 suffit de faire .r =: o pour retrouver le dénominateur que nous voulons connaître quand /jl =r 2.
Ce dénominateur est donc le double du coefficient de jt*
l6o CHAPITRE IX.
dans le développement de {i-{-e^')^ suivant les puissances de x; or, en nous arrêtant aux termes en ^-,
c'est-à-dire
Le terme du degré le plus élevé en N à l'intérieur de la parenthèse est -3- ^-. Le dénominateur dont nous cherchons
la valeur est donc approximativement le double de 2^ -^,
c'est-à-dire vaut 2^-^^ N^.
Ainsi, dans la seconde hypothèse, la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches est
elle est beaucoup plus petite quedansla première hypothèse. En effet, comme on l'a vu à propos du théorème de Ber-
noulli,
/i!(N — Al)! Jn
est très petit, sauf quand n et N — ai sont sensiblement
... . . , I égaux a /? et ^, C est-a-an*e ici a -•
101. Deux joueurs d'échecs ont joué n -h m parties: le premierenagagné n, lesecond m. Si /i > m,ondoit supposer le premier plus fort.
Si une nouvelle partie s'engage, le premier aura plus de chances de la gagner. *
PROBABILITES DES CAUSES. l6l
Quelqu'un de bien informé pourra se représenter par /> In probabilité pour que ce joueur gagne. Mais, pour moi qui n'ai jamais vu jouer cet individu, je ne connais pas /?; je vais chercher à m'en faire une idée.
La probabilité pour que p soit compris entre pQ et p^ se représente par
f{p)dp,
OÙ la fonction/ (/>) est inconnue.
La probabilité pour que p soit coiupris entre /> et p -i- dp sera a priori f (p) dp; c'est elle qui correspond à gt/.
A la probabilité pi correspond
La cause considérée est en effet que la probabilité de gagner soit/? pour le premier joueur.
La probabilité que ce premier joueur gagne n parties, p étant sa probabilité de gagnera chacune des /iH- m parties, sera
Quelle est la probabilité a posteriori que p est compris entre p ei p -+- dpt
Ici xsiPh en remplaçant q par i —p, est égal à
La somme des w,pi sera
P. Il
cette intégrale doit être prise de o à i, car la probabilité /? est comprise certainement entre ces limites. On fait généralement l'hypothèse
faute d'autres renseignements.
L'intégrale s'évalue alors simplement; elle devient
L'on est ramené à l'intégrale eulérienne de première espèce
les r sont ici des factorielles, et celte expression n'est autre que
Ainsi l'intégrale qui représentai! la somme des t^Si pi est
simplement égale à > et la probabilité a posteriori
pour que p soit compris entre/? et/? -t- dp est
Cp(^) dp = —~ pn(^,pyn ^p^
102. Quelle va être la probabilité pour que ce joueur gagne la pailie suivante?
Cette probabilité s'obtient facilement. La probabilité pour que p soit compris entre /? et /? -h dp est cp (p) dp; la probabilité, lorsqu'il en est ainsi, de gagner la partie suivante pour le joueur est p; en vertu de la probabilité composée, la réunion. de ces deux conditions a pour probabilité />'9 (/?) <^/?.
PROBABILITÉS DES CAUSES. l63
On intégrera cet élément de o à i, d'où ,1
p(f{p)dp.
Si l'on remplace 9(/>) par sa valeur, il vient
C'est encore une intégrale eulérienne, et l'on arrive à
( n H- m -4- I ) ! ( « -f- I ) ! m î ni m\ (/i-i-m-i-2)!
ou
Si j'avais appliqué le même raisonnement à un jeu de hasard, je n'aurais pas eu le droit de supposer/ (/>) = 1. A
priori, en effet, p devait égaler -• Donc/ {p) devait être infini pour /?= -•
103. Représentons par N le nombre total des petites planètes; parmi elles, un certain nombre M sont connues. Dans une année, on en observe n parmi lesquelles m planètes connues.
On demande la valeur probable de N.
La valeur de N ne peut différer beaucoup de — > mais
celle évalnalion au jugé ne suffit pas : il faut s'occuper de l'écart probable entre le nombre véritable et le nombre probable.
Voici comment nous procéderons :
l64 CHAPITRK IX.
En premier lieu, nous supposerons connue la probabilité pour que, pendant l'année d'observation, une planète existante ait été observée; soit/? cette probabilité: nous admet* trons qu'elle est la même pour les planètes connues et inconnues.
Comme nous avons observé n planètes, la valeur probable
de N semble, au premier abord, devoir être égale à — ; mais
il n'est pas possible que cette valeur soil tout à fait exacte : les nombres i, 2, ..., N ont des probabilités propres que j'appelle t^Su ^2, ••., cr^, et la valeur probable de N sera :
GJi + 2 GJj -I- . . . -h N CJ.N.
Si l'on suppose/» donné, et tous les nombres i, 2, ..., N également probables, on arrivera, comme nous le montrerons, à poui' la valeur probable doN.
Ce premier point résolu, nous nous poserons un autre problème; nous avons supposé /? connu, nous ne le supposerons plus, et nous déterminerons ensuite la valeur probable de N en fonction de m. et M, ce qui nous donnera
un résultat très voisin de — > comme nous lavons prévu
plus haut. -
104. J'appelle donc gjn la probabilité a priori pour qu'il y ait N planètes; p^ la probabilité pour que, s'il y a ainsi N planètes, on en observe n. dans l'année,
La probabilité a posteriori pour qu'il y ait en tout N planètes est une probabilité de Cause; elle s'exprime par
léJSupji
PROBABILITÉS DKS CAUSES, l65
Comme première hypothèse sur les m, supposons-les tous égaux; la formule précédente se réduit à
Pour caictiler ps, appliquons le théorème des épreuves répétées. La probabilité que, sur N planètes, on en observera n dans l'année est
P^== ».rN n^»/^"^'"">
p étant la probabilité pour qu'une planète, si elle existe, soit observée; q la probabilité pour qu'elle ne le soit pas.
n est une valeur constante : c'est la plus petite que puisse prendre N. Faisons croître N indéfiniment,
-=p-{i-q)-(-^'^=F{p,q), Si j'introduis maintenant la relation 7>=:i — <7 lpti=zp''p-(''^^^—L.
Avec rhypothèse faite sur les ci, la probabilité pour qu'il y ait N planètes est donc /?/?«.
. 105. La valeur probable de N est
^Ps
Il est u n peu plus simple de calculer la valeur probable de N — n, soit
Posons
/i!(N-«)I' alors
Pour évaluer ie second membre il suffit de dififérenlier F(/?, ^) par rapport à q, et de multiplier le résultat par g,
g^=P'g{n + i){i-g)-^'^--'^; faisons après cette différentiation i — g =/>. Il reste
En vertu d'une précédente démonstration, cette expression est égale à IA/j'^CN — «) g^-''. Comme d'autre part
i valeur probable
! de N — /i est
(n-Hi)^
Par suite, la valeur probable de
Nest
Cette quantité diffère très peu de -» comme il était prévu.
En effet
