Cherchons ^(z

A^i -h B est une fonclion de z qui atteint son maximum pour s rr: ^1 ; soit ul ce maximum. Je puis donc poser

Aj7, -hB =: wj — u^;

u sera réel.

De même

{z — x^)^{z)dz

est une intégrale qui est toujours positive et ne s'annule que pour s = a-, ; je puis donc la poser égale à p', d'où

(^ — a:i)^{z) dz =z 2Ç dv.

Pour achever de définir a et ç il faut s'en donner le signe, car nous avons seulement défini u^ et ç'^. T^ous conviendrons de donner à m et à ^^ le signe 4- si ^ est plus grand que a?, et le signe — dans le cas conlraire; u et v sont donc toujours de même signe.

D'ailleurs

wJ = A(^,)^,-+-B(^,).

L4 THÉORIE DES ERREURS ET L4 MOYENNE ARITHMÉTIQUE. l8l

L'intégrale examinée devient, en faisant sortir une constante,

Je puis supposer i> exprimé en fonction de m, IV dv :=i f{a) duy

et alors

jf{u)e-P''*du

doit être nulle, quel que soit yo, lorsque les limites sont

— 00 et H- 00.

118. Cela ne peut arriver que si f{u) est une fonction impaire. En changeant m en ~ w, on aurait

f/(-u)e-P-'du=:o, f[f{ ") -t- A- ")] e-P'^' du = G.

d'où

Cette relation doit être vraie quelque grand que soit/?. Si /(m) est impaire

Si/(w) n'est pas impaire, je développe suivant les puissances croissantes de u. L'intégrale ne pourra être égalée à zéro quel que soit />. v

En effet,

Je vais poser

l82 CHAPITRE X.

l'intégrale va devenir

et elle doit être identiquement nulle.

Si nous multiplions par/> Hous les termes, le premier ne contiendra plus/?,. et les autres le contiendront encore;

l'intégrale, au facteur près p *, se réduira sensiblement pour/> très grand à

o^f^^-^'i^-dl.

qui n'est pas nulle.

Donc/(w) doit être fonction, impaire de «.