On a posé

{z — x^)^{z)dz^=z f(u)du,

Différenlions, en considérant ^, comme constant, l'autre équation en u,

AiriH-B = «î — M*;

il vient

dz{k'xx-\-W)=:—'iudu;

or, en tenant compte de la relation

Donc

K{z — Xx)dz^=i2uduy d'où

A' iu

LA THÉORIE DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE. l83

'^ — ' est une fonction paire, donc ' \^ ne doit pas chan-

Il A.

ger quand on change m en — u.

Or -^-77— n'est pas une fonction de m, mais une fonction

de z indépendante de ^1 : je dis qu'elle doit se réduire à une constante.

En effet, je considère deux valeurs quelconques de s, 5j et ^2, pour lesquelles A et B prennent respectivement les valeurs A, et B^, A2 et B2; je vais choisir ^1 de façon que

Ai^i-+- Bi = A2^i-(- B2;

wj — u^ reprendra alors la même valeur pour 2, et z^.

Donc*^^ — - qui n'est fonction que de m* reprendra aussi la même valeur et l'on aura

Donc ■^-h— est constant.

120. Ainsi la manière la plus générale de satisfaire au postulat de Gauss (modifié conformément à l'objection de J. Bertrand, à savoir que la moyenne est la valeur probable) se traduit par

— f<\t(z)(z — .ri)dz