DÉFINITION DES PROBABILITÉS
1. On ne peut guère donner une définition salisfaisanLe de la Probabilité. On dit ordinairement : la probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables à cet événement au nombre total des cas possibles.
Ainsi, si le premier nombre est n et le second N, la probabilité est r^; cette définition, dans certains cas, ne soulève aucune difficulté. Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un roi est ^j puisque le nombre total des cas possibles,
c'est-à-dire des cartes, est 32, et que parmi- ces cartes il y a quatre rois; on a donc ici N =: 32, fi =:=: 4. Quand on jette
un dé, la probabilité d'amener je point 4 est ^^ car N=:6 et
/i=:i, le dé ayant 6 faces dont une seule porte le point 4- Dans une urne qui contient n boules blariches et/? noires, on tire une boule; la probabilité qu'elle soit blancbe est
2. Prenons un- exemple un peu plus compliqué. Deux urnes, qui ne diffèrent pas extérieurement, renferment la première n boules blanches et /> noires, la seconde n' blanches eip' noires.
DÉFINITION DES PROUABILITÉS. ;î5
On fait tirer une boule à une personne, et on demande
quelle est la probabilité pour amener blanciie. On pourrait
dire que le nombre total des cas est n + n' ^p -\- p' et que
la probabilité est ; 7. On peut dire aussi que
deux cas peuvent d'abord sie présenter, soit la première, soit
la seconde urne; la probabilité de prendre dans la première
est-î et dans la seconde -> car il y a autant de cbances de
mettre la main dans l'une que dans l'autre. Si j'ai mis la
main dans la première urne, la probabilité est pour
que, prenant dans la première urne, on ait une boule blanche; en vertu du théorème de la probabilité composée, que je ne tarderai pas à établir, la probabilité de mettre à la fois, la main dans la première urne et d'en tirer une boule
blanche est ■ — ; la probabilité analogue pour la seconde
urne est
2 /i La somme
est l'évaluation correcte de la probabilité demandée, et il n'y aura égalité entre les deux évaluations que dans un cas particulier
c est-â-dire — =: —
A quoi tient cette divergence? A ce que les n -+- n' -h p -hp cas ne sont pas également probables.
Ainsi, supposons qu'il y ait deux fois plus de boules dans
'-a6 chapitre I.
la première urne
La probabilité pour que je prenne une boule donnée dans celte urne est — -; et pour que je la prenne dans la
seconde elte est
A la définition de la probabilité, il faut donc ajouter : à condition que tous les cas soient également vraisemblables. Citons deux autres exemples dus à Bertrand.
3. Problème des trois coffrets. — Trois coffrets identiques, A,B,C, .ont chacun deux tiroirs, a, (3 ; ceux de A contiennent chacun (jne pièce d'or, ceux de B une pièce d'argent, et ceux de G ont l'un une pièce d'or, l'autre une pièce d'aigent :
a or argent or ' |3 'or argent argent.
Quelle est la probabilité pour (|ue, en ouvrant au hasard un des six tiroirs, l'on ait une pièce d'or? Six cas sont également probables : Aa, A|3, Ba, B|3, Ca, Cp; de ces six cas, trois sont favorables à l'arrivée de la pièce d'or : Aa,A|3,Ca.
\,<\ probabilité est donc -•
Si l'on prend un des trois coffrets, au hasard, la probabilité pour prendre C est--
J'ouvre au hasard un des tiroirs, j'y trouve une médaille, d'or; quelle est la probabilité pour que la deuxièuje médaille soit en argent?
HEKINITION DES PROBABILITES. 1"]
Ou bien, je suis tombé sur le coffret C, ou bien sur le coffret A : dans le premier cas, la seconde médaille sera eu argent, dans le second en or. La probabilité semble
donc-- Cette conclusion est fausse.
Avant d'ouvrir le tiroir, je savais que j'y trouverais une pièce d'or ou une pièce d'argent avec une probabilité égale,
c'est-à-dire-; or, je puis trouver la pièce d'or dans trois
cas, Aa, AjS, Ca, et de ces trois cas un seul, Ca, est favorable à l'arrivée de la pièce d'argent dans le second tiroir.
Dans la première évaluation de la probabilité à - ? les deux
cas envisagés étaient inégalement probables : le cas A correspond à Aa et à Ap, et est deux fois plus probable que le cas C, qui ne correspond qu'à Ca.
4. Problème du jeu de boules. — Deux joueurs également babiles, Pierre et Paul, jouent aux boules; Pierre a deux boules à lancer, Paul une boule, et la victoire est à celui des deux dont l'une des boules approcbera le plus du but.
Quelle est la probabilité pour que Paul gagne?
Soient A et B les boules de Pierre, C celle de Paul; six cas peuvent se présenter, en rangeant les boules suivant leur proximité du but.
ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC.
Ces six cas sont également probables; ceux qui donnent la victoire à Pierre sont au nombre de (juatre, ceux qui donnent la victoire à Paul au nombre de deux : la probabilité de gagner est donc - pour Paul.
On pourrait raisonner autrement : la boule A de Pierre est plus éloignée du but que C, ou bien c'est le contraire.
A>C ou A<C.
De même pour la boule B
B > C ou B < C.
Donc quatre cas sont possibles
avec
Un seul cas, le premier, est favorable à Paul, puisque sa boule est à la fois plus rapprochée que A et B ; la probabilité
serait donc y ' ' -
Mais les quatre cas ne sont pas également probables.
A> C avec B > C correspond à 2 combinaisons CAB, GBA, A<C, » B>C » I » ACB,
A > C » B < C » I » BCA,
À<G. » B<G » 2 » ABG,BAC.
5. La définition complète de la probabilité est donc une sorte de pétition de principe : comment reconnaître que tous les cas sont également probables? Une définition mathématique ici n'est pas possible; nous devrons; dans chaque application, faire des conç entions ^ dire que nous considérerons tel et tel cas comme également probables. Ces conventions ne sont pas tout à fait arbitraires, mais échappent à l'esprit du mathématicien qui n'aura pas à les examiner, une fois qu'elles seront admises.
DEFINITION DES PROBABILITES. 29
Ainsi tout problème de probabilité offre deux périodes d'étude ; la première, métaphysique pour ainsi dire, qui légitime telle ou telle convention; la seconde, mathématique, qui applique à ces conventions les règles du calcul.
6. Nous allons grouper les questions dont nous nous occuperons, d'après divers poinis de vue et, d'abord, au point de vue des cas possibles.
Dans une première catégorie, nous rangerons toutes celles où le nombre de cas possibles est fini, ne dépasse pas certaines limites; en général, nous aurons affaire à des jeux de hasard, à de simples problèmes d'analyse combinatoire.
Dans une deuxième catégorie, le nombre des cas possibles reste fini, mais devient très grand; on n'a plus alors qu'une expression approchée de la probabilité par la loi des grands nombres, le théorème de Bernouili, etc. C'est ce qui se présente en statistique.
Dans une troisième catégorie, le nombre des cas possibles est indéfini.
Ainsi, on lance une aiguille sur une feuille de papier où sont tracées des lignes parallèles : la probabilité pour que l'aiguille rencontre une de ces lignes dépend d'un nombre infini de cas possibles.
C'est dans ce cas surtout qu'il faut définir, avec le plus grand soin, les conventions préalables.
On sait, par exemple, qu'un nomibre Xy fractionnaire ou incommensurable, est compris entre o et i, et on demande
la probabilité pour qu'il soit compris entre o et - : le nombre
des cas possibles est infini. On serait tenté de dire que la
probabilité est -; cependant on pourrait dire aussi que
3o CHAPITRE I.
SI o < .r < - , le carre de x^ soit y, est compris entre o et j •
Puisque x^-=zy, et que x est compris entre o et i, on a o<y < I. Les cas favorables sont tous ceux pour lesquels
G </ < 7; si l'on divise l'intervalle compris entre o et i en
quatre parties égales, la probabilité pour que/ soit compris
