Posons le problème d'une autre manière

On a commis dans les observations un certain nombre d'erreurs indivîtluelles, /i, y^, ..., /», indépendantes les unes des autres; l'erreur totale est

Supposons, d'abord que toutes ces erreurs suiyenlla même loi, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques. Le problème est le même.

La valeur probable de /^P'^^ sera nulle.

Nous avons évalué au paragraphe 136 la valeur probable de

Ici nous avons à chercher la valeur probable de

La probabilité pour que fi soit comprise entre deux limites données oc et j3,

I ?{yi)dfi,

est la même par hypothèse pourri, j2> •••»/«•

Il nous suffit de multiplier le résultat obtenu pour la valeur probable de

c'est-à-dire

pi \in) ' par n'^P, pour. obtenir la valeur probable de y^P,

et, en posant /iM, = M, Ainsi la forme de cette expression reste la même, et.

JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. 2o3

en raisonnant comme précédemment, on conclurait que la probabilité pour que l'erreur totale y soit comprise entre deux limites données reste conforme à la loi de Gauss.

142. Ce raisonnement n'est pas encore satisfaisant, parce qu'il est peu vraisemblable que toutes les erreurs individuelles suivent la même loi. Supposons que la loi ne soit pas la même, mais que toutes les erreurs individuelles soient sensiblement du même ordre de grandeur et que chacune d'elles contribue pour une faible part à l'erreur totale ; soient

?i(ri)^yi

la probabilité pour que/i soit compris entre a et (3 ; la probabilité pour que y^ soit compris entre a et (3 ;

j 9n{yn)dyn

la probabilité pour que y„ soit compris entre a et (3.

Je suppose toujours ^i, cps, ..., 9„ fonctions paires, autrement dit qu'il n'y a pas d'erreurs systématiques.

Je prends la somme M des valeurs moyennes des carrés des erreurs,

Si toutes les erreurs particulières suivaient la même loi, on aurait la même valeur Mj pour /}, vl, .., /', et Va somme M serait nMv

Je me bornerai au calcul correspondant aux premiers exposants.

En supposant que toutes les erreurs suivent la même loi, nous avons trouvé que la valeur moyenne de /* est M; celle de /S 3M^; celle de jS lôM^ ....

Refaisons le même calcul en supposant la loi différente pour les différentes erreurs individuelles. J'observe que le produit /7/2 a pour valeur moyenne la valeur probable de y7, multipliée par la valeur probable de jj. En effet, la valeur probable du produit yf/? sera représentée par

9i (7i ) ?2 (ya ) fT y\ ^71 dyt ;

le produit des valeurs probables de /7 ^^ ^® /? sera représenté par

Le théorème reste donc vrai dans ce cas-ci comme dans le précédent; et si m est impair, la valeur probable sera nulle.

La différence à remarquer, c'est que les valeurs probables de/7>7?» •••»/« ne sont plus égales entre elles.