Cherchons la valeur moyenne de 7^. On a
y^z=:ly\-^2ly,y^.
Donc, ^^
le dernier terme disparaît; il reste
JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. 2o5
Pour la valeur moyenne de 7*, on trouve
en laissant de côté les termes où figurent des exposants impairs.
Le second terme sera beaucoup plus grand que le premier:
le premier 1 est un ensemble de n termes, le second 1 un
ensemble de termes; ces nombres de termes sont
respectivement de l'ordre de n et de l'ordre de n^; le premier est négligeable devant le second. Les diifîérents termes des deux 2 sont d'ailleurs, par bypolhèse, très petits et sensiblement du même ordre de grandeur. On a, d'autre part,
ou
Le premier terme est encore négligeable devant le second, et celui-ci est identique dans les deux expressions. Donc, avec l'approximation adoptée,
Pour la valeur moyenne de /^, on a
Calculons d'autre part i5M%
Comparons les deux seconds membres. Le premier 1 porte sur n termes, le seconde sur n{n — i), le troisième i
sur ^(^~0(;[^~^) . ces nombres de termes sont de l'ordre 1.2.3
de grandeur de n, de /i', de nS et les deux premiers 1 sont
négligeables vis-à-vis du troisième. Comme le terme qui n'est pas négligeable est le même, on a
144. En résumé, supposons que l'erreur finale soit la résultante d'un très grand nonlbre d'erreurs partielles, indépendantes les unes des autres, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques; supposons aussi que ces erreurs, qui seront sensiblement du même ordre de grandeur, entrent chacune pour une faible part dans l'erreur totale.
Dans ce cas, l'erreur résultante suivra sensiblement la loi de Gauss.
Telle est, il me semble, la meilleure raison à donner de la loi de Gauss.
Fonctions caractéristiques. — J'appelle fonction caractéristique f {(x) la valeur probable de e^^ ; on aura donc
si la quantité x varie d'une manière discontinue et peut pren.dre seulement un nombre fini de valeurs, et
A<x)=.Jc,
= / cû{a:)e'^^ dx,
si a; varie d'une manière continue el si 9 (x) représente la loi de probabilité. II est clair que
(xP) désignant la valeur probable de a;''. On voit que /(o) = i.
La fonction caractéristique suffit pour définir la loi de probai)ilité. On a en effet par la formule de Fourier
Si deux quantités x et / sont Indéperdantes et si/ (a), /i (a) sont les fonctions caractéristiques correspondantes, la fonction relative à oo -\- y sera le produit/ (a) /i (a). En effet, comme nous l'avons vu au paragraphe 130, la valeur probable du produit e^^^-^y^ sera le produit des valeurs probables de e^^^ ei e^y.
Avec la loi de Gauss
on trouve aisément
Supposons que deux quantités x et /, indépendantes, suivent l'une et l'autre la loi de Gauss, la première avec la précision h, l'autre avec la précision A'; les fonctions caractéristiques correspondantes seront
La fonction caractéristique relative à x ~\- y sera le produit
La somme x + y suivra donc aussi la loi de Gauss avec la
précision li" ; c'est le théorème de M. d'Ocagne, démontré au paragra[)he 60.
Supposons maintenant une erreur résultante qui soit la somme d'un très grand nombre d'erreurs partielles, très petites et indépendantes. Soient/, (a), /2(a), ...,/„(«) les fonctions caractéristiques correspondantes.
Chacune d'elles sera de la forme
L'erreur correspondante étant toujours très petite, les coefficients (3 décroîtront très rapidement.
La fonction caractéristique relative à l'erreur résultante sera le produit
c'est-à-dire
Les erreurs n'ayant pas de caractère systématique, nous aurons
D'autre part, les coefficients (3 décroissant très rapidement, HPa, IiPi, etc. seront négligeables devant 2 (Ss, et il restera
ce qui est la forme de la fonction caractéristique qui convient à la loi de Gauss.
145. On a donné de la loi de Gauss une vérification a posteriori, fondée en somme sur le théorème de Bernoulli.
Si une certaine épreuve peut donner naissance à plusieurs événements tels qu'un seul d'entre eux se produise à la fois, et Si l'on répète l'épreuve un très grand nombre de
aog
fois, les nombres des événements qui se produiront seront très sensiblement proportionnels à leurs probabilités.
On mesure un grand nombre de fois une quantité z; les résultats sont ^,, .^2» • • •> ^n, et les erreurs j,, 72» • • •> fn-
Si nous connaissions bien z, nous connaîtrions bien yi, 72» •••> 7«; si nous comptons le nombre d'erreurs comprises entre deux limites données, a et h, ce nombre sera proportionnel à
?(yi)«(ri"
On peut construire la courbe qui représente 9 (y,).
0 ot 2oc 3a
Fig. 16.
On divise l'axe des abscisses en un certain nombre de parties égales à a : chacun de ces petits intervalles est assez grand pour que le nombre des erreurs dans cet intervalle soit grand ; au milieu de cet intervalle, élevons une ordonnée proportionnelle à ce nombre d'erreurs.
La courbe obtenue, si la loi de Gauss est vraie, aura pour équation
C'est une courbe asymptotique à l'axe des abscisses symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Ce résultat se vérifie, paraît-il. Ainsi Bessel a pu repré-
i'O CHAPITHK \U
senter les résultats d'un grand nombre d'observations de Bradley, sur la déclinaison d'une étoile.
146. On peut ausïi se dispenser de tracer une courbe, et vérllîer par le calcul.
Remarquons, en premier lieu, que, si l'on ne connaît pas la véritable grandeur à mesurer, on adoptera la valeur moyeîine des observations comme la représentant.
Vérifions par le Calcul : la valeur moyenne de j^p serait, d'après la loi de Gauss,
celle êe y^^, Éliminons A,
p/[ip)\
On vérifiera que cette relation est satisfaite. Pour les observations faites, nous connaissons les erreurs /i^ /a, •••, 7/1- L'expression
doit être égale à
cette vérification se fait également, paraît-il.
JUSTIFICATIOXS' DE LA LOF DE GAUSS. 21 r
On peut encore considérer y-p-^^. La valeur probable serait'nulle si l'on prenait/ avec son signe. En ne considérant que la valeur absolue, on aurait comme valeur probable, d'après la loi de Gauss,
'fM
yip-hl g-hy'- dy.^
cette intégrale eulérienne n'est pas nulle.
Si l'on avait pris y avec sa valeur relative, on eût eu
r U-y^P^^e-^^y'-dy, qui est nulle.
147. Exception à la loi de Gauss. — J'ai plaidé de mon mieux jusqu'ici en faveur de la loi de (lauss dont nous allons maintenant tirer les conséquences. Peut-être pourtant la cause n'était-elle pas parfaitement bonne.
Il n^ faudrait pas avoir une sorte de superstition pour la méthode des moindres carrés, à laquelle va nous conduire la loi de Gauss. Nous avons vu que l'on avait parfois des raisons de ne pas adopter cette loi.
Elle suppose, en effet, qu'il n'y a pas d'erreur systématique, et il y en a toujours.
D'un autre côté, nous avons vu qu'on est souvent conduit à ne pas appliquer le procédé de la moyenne, et, par exemple, à rejeter une observation qui présente avec toutes les autres une divergence exagérée. Il n'en serait pas ainsi si la loi de Gauss était toujours vraie.
C'est donc que, dans certains cas, on croit avoir des raisons a priori de ne pas adopter la loi de Gauss. Qu'est-ce à dire? Pourquoi rejetons-nous une observation divergente; c'est parce que nous supposons qu'elle est entacbée d'une
erreur grossière, due â un accident quelconque. C'est donc que nous ne considérons pas a priori une erreur grossier comme tout à fait improbable, comme elle le serait d'après la loi de Gauss.
148. Entrons dans quelques détails. On peut dans certains cas supposer que l'eireur totale se compose de deux erreurs partielles ; la première, due elle-même à l'accumulation d'un grand nombre d'erreurs très petites, suivra la loi de Gauss; la deuxième sera une erreur grossière, dont la probabilité est, il est vrai, très faible, mais qui peut être très notable.
C'est ce qui arriverait par exemple si l'on avait négligé, par inadvertance et sans s'en apercevoir, quelque précaution essentielle, quelque réglage indispensable. Et c'est là une hypothèse qui n'a rien de déraisonnable. Soient alors
l'erreur totale, yi et /s les deux erreurs partielles. Alors rj suivra la loi de Gauss, et la fonction 9(/i) qui définit la loi de probabilité sera
et la fonction caractéristique correspondante sera e*''.
En ce qui concerne l'erreur /a» e^^e pourra être égale k o, -\- k eA — k, les probabilités respectives de ces trois erreurs étant i — iE,ie et e; la fonction caractéristique correspondante sera
et la fonction Caractéristique relative à l'erreur totale sera le produit
Quant à la fonction 9(7), elle sera
Supposons maintenant que nous voulions savoir quelle est la valeur probable de la quantité mesurée z, étant donné que n observations ont donné pour résultats x^, x^y . . ., .r„. Nous savons que tout dépend du produit
<p(j?, — >3)cp(^s— ir) . .. cf>{x„ — z);
la fonction 9 ayant trois termes, ce produit en aura 3" ; on trouvera alors pour la valeur probable cherchée
le' numérateur et le dénominateur ayant 3'* termes; on aura d'ailleurs
x^-i-Xi-i-...-hx„ , 6i-^6i-h...^e„ Ix 19
Zk=^ h AT := h K >
les nombres 5 pouvant prendre les valeurs o, i ou — i; comme les nombres 9 sont au nombre de n et peuvent prendre chacun trois valeurs, cela fait bien 3'» combinaisons.
On aura ensuite
^,=(i-2sr(^y
a,^hl,{x,— z,--9ik)\
Pour simplifier, nous supposerons trois observations seulement ayant donné pour résultats o, o et k, et nous négli-
2l4 CHAPITRE XI.
gérons le carré de 2; la valeur probable deviendra alors
où ^=:^hk"; si [3 est grand, c'est-à-dire si la différence entre l'observation discordante ^3=/: et les observations concordantes Xi=:a:^:=o est grande par rapport à la précision de l'instrument, il peut se faire que et'P soit fini, et alors, en ne conservant que les quantités finies, la valeur probable devient
^(i — £eh,
ou, plus exactement, puisque nous ne pouvons plus négliger le carré de seP,
3 iH-eeP'
Elle est donc plus petite que la moyenne arithmétique, c'est-à-dire que l'on doit attribuer aux observations concordantes un poids plus grand qu'à l'observation discordante. On admet, en somme, qu'il est plus naturel de «supposer qoe cette observation discordante est due aune erreur grossière de la seconde sorte qu'à une erreur dé la première sorte conforme à la loi de Gauss, car il est très peu vraisemblable que cette dernière puisse atteindre d'aussi grandes valeurs.
149. On peut s'amuser à faire le calcul avec d'autres lois; nous avons d'abord celles où les grandes erreurs sont plus vraisemblables que dans la loi de Gauss; on peut prendre par exemple
9(y)rr — , cp(y):z=-^^ l>-l.
Le calcul ne présente aucune difficulté; avec cette der-
nière loi, et en supposant trois observations jc^-zr^x^ et .r3>.r2, on trouve pour la valeur probable de z
Pour ^3 très grand, cela se réduit à
ce qui montre que, Xi et a:^ restant fixes, la valeur probable de z ne croît pas indéfiniment avec cc^. Ici encore le poids de la valeur discordante est plus petit que celui des valeurs concordantes.
Considérons maintenant des lois où les grandes erreurs sont moins vraisemblables qu'avec la loi de Gauss; comme par exemple
on trouvera alors que le poids de la valeur discordante est plus grand que celui des valeurs concordantes. Et cela parait d'abord assez paradoxal. Mais il est aisé de s'expliquer ce résultat. Supposons que les trois observations aient
donné
k la moyenne arithmétique étant -r-) les trois erreurs ont été
k k QLk 3' 3' T*
Si l'on avait pris-, les trois erreurs auraient ele -• l.a
2l6 CHAPITRE XI.
probabilité d'une erreur décroissant très vite quand cette erreur croît, il peut se faire qu'une erreur -s- soit tellement
invraisemblable qu'elle puisse être regardée comme prati-
k quement impossible, tandis qu'une erreur — resterait admissible. Effectivement
D'-(î)'-(T)'>(iy-e)'-è)'
150. Quel genre de modification y aurait-il donc, dans ces derniers cas, à faire subir à la loi de Gauss? La courbe
que nous avons précédemment tracée, devrait être relevée dans les parties éloignées de l'axe des ordonnées.
Autre exemple; si la loi de Gauss était exacte, on pourrait, en multipliant suffisamment les observations, obtenir une précision aussi grande que l'on voudrait.Dans bien des cas, on a le sentiment que c'est là une illusion. Avec un mètre divisé en millimètres, on ne pourra jamais, si souvent qu'on répèle les mesures, déterminer une longueur à un millionième de millimètre près.
Comment conviendrait-il de modifier la courbe de Gauss pour tenir compte de ce fait? Ici, ce qui rend illusoires nos efforts pour atteindre une précision infinie, c'est que nous n'avons pas plus de chances de ne pas nous tromper dii tout, que de ne nous tromper que d'un micron ou de deux microns. La courbe devrait donc comprendre un petit palier, un petit segment de droite horizontale y =■ const. s'élendant de part et d'autre de l'axe des y.
Mais une pareille hypothèse est encore insuffisante pour
JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. Iiy
rendre compte des faits. Avec Je raisonnement du paragraphe 135, on verrait que quelle que soit la loi des erreurs, si elle est de la forme 9(^/~^), la valeur probable du carré de l'erreur commise surijne moyenne de n observations tend vers zéro quand n croît indéfiniment. On peut le voir également à l'aide des fonctions caractéristiques. Soit F{cx) la fonction caractéristique relative à une observation isolée; la fonction caractéristique relative à la moyenne de n observations sera
Supposons que F(a) soit analytique et que
F( a) m -h Al a 4- Aj a* 4- . . . .
Nous supposerons que Terreur n'a pas de caractère systématique, c'est-à-di're que Ai==o; nous aurons alors
logF(«)=r:B,a«-+-Baa' + ..., d'où
et à la limite
ce qui montre que l'erreur est nulle.
A la vérité, on pourrait supposer que F(a) n'est pas analytique et prendre par exemple
On en déduirai i
ai 8 CHAPITRE XI.
dé sorte que l'erreur sur la moyenne ne tendrait pas vers zéro; celte hypothèse correspond à la suivante :
TT 1 -4- y
Comment le raisonnement du paragraphe 135 se trouve-t-il en défaut dans ce cas?
D'après ce raisonnement, la valeur probable du carré de l'erreur sur la moyenne est /i fois plus petite que la valeur probable du carré de l'erreur d'une observation isolée. Cela reste vrai, mais ici cette dernière valeur probable, représentée par l'intégrale
est infinie.
Cela n'est pas encore la solution que nous cherchons. Nous ne verrions pas l'erreur sur la moyenne tendre vers zéro, si la fonction cp(y) ne tendait vers zéro plus vite
que ^ pour y très grand, c'est-à-dire si de très grandes
erreurs n'étaient pas très improbables.
Mais si nous ne pouvons compter qu'un instrument quelconque nous donnera une approximation indéfinie, à la condition de répéter suffisamment les observations, ce n'est pas à cause des très grandes erreurs, c'est au contraire à cause des très petites erreurs, le bon sens l'indique suffisamment.
151. Il faut donc admettre que la fonction <p n'est pas de la forme cp(^/ — >c), mais de la forme o(^,, z). Supposons par exemple que l'instrument soit gradué en divisions dont nous puissions apprécier le dixième; en général, nous ne noterons sur notre carnet que des nombres entiers de
dixièmeg: si nous y inscrivions des cenlièmes ou des millièmes» ce serait tout à fait au hasard. Supposons qu'il n'y ait 4'îiutre erreur à craindre que l'erreur de lecture ; prenons pour unité le dixième de division, de façon que .r, soit toujours un entier. Nous pouvons admettre par exemple que, si z est compris entre /? — e et /> h- £ {p étant entier), nous noierons certainement jr, = /?; que si z est compris entre
/) H- Ê et/) -h I — £, il y aura une probabilité - pour que nous
marquions Xi-z:zp et une probabilité - pour que nous marquions ^/r=;/; 4- i.
Si z est compris entre /> + e et ^ -+- 1 — e, et que nous fassions n observations, nous marquerons «' fois jo et n!' fois
/> -h I ; le rapport de n! et de a" à - tendra vers i quand le nombre des observations croîtra; la moyenne
tendra vers /? -t- - et ne tendra nullement vers z.
On arriverait à des résultats analogues avec des lois analogues, mais plus compliquées, soit que la probabilité pour qu'on Use p varie d'une façon continue avec z, pourvu que cette probabilité ne soit pas une fonction linéaire de z — p; soil,'çe qui est plus vraisemblable, que la courbe qui représente cette probabilité présente un palier comme cela avait lieu dans l'exemple particulier que nous venons de traiter; soit enfin qu'à une erreur de lecture oflTrant l'une de ces particularités, viennent se superposer des erreurs provenant d'autres sources et suivant la loi de Gauss.
Si 9(^/, z) ne dépend pas uniquement de la différence
a20 CHAPITRE XI.
y/— Xi— z, la valeur probable de l'erreur qui est
j,cp(a7,-, z)dyi
dépend de z. Il se peut qu'elle ne soit pas nulle, bien que l'erreur n'ait aucun caractère systématique proprement dit. Si en effet cette valeur probable est représentée par 0(«), il suffit que l'intégrale
Q{z)dz
[ou mieux / ^{z)B{z)dz, où <]^(a) représente la proba-
bilité a priori pour que z ail une valeur donnée], comme dans le chapitre X, soit nulle, pour que l'erreur ne puisse pas être dite systématique; mais B(z) n'a pas besoin d'être identiquement nul. Par exemple, reprenons Thypothèse où nous nous étions placés plus haut, et supposons de plus que nous sachions d'avance que z est compris entre /? et /> -h i ; de sorte que tj'C^) est nul quand z n'est pas compris entre ces limites et peut être regardée comme une constante dans le cas contraire. On aura alors
B{z)^p-^ -—i (/?H-e<5</>-hi — £), Q{z)z=ip -\-i~z (/> 4-1 — £<<s</?-f- 0-
II est aisé de voir que
/ i\i{z)e{z)dz= d{z)dz — o,
152. Reprenons alors la formule du Chapitre XI qui nous donnait la valeur probable du carré de l'erreur commise sur
la moyenne
ce qui peut encore s'écrire
Cette formule subsiste seulement quand les valeurs probables / et j* de l'erreur d'une observation isolée et de son carré vont dépendre de z. D'après ce qui précède,
peut ne pas être nul ; le premier terme tendra vers zéro quand n croît indéfiniment; mais il n'eu est pas de même du second qui tendra vers
de sorte que la valeur probable du carré de l'erreur commise sur la moyenne devra s'écrire (en n'attribuant plus à z une valeur particulière)
B^{z)^{z)dz
et ne s'annulera pas puisque tous ses éléments sont positifs.
On pourrait auési se servir de la fonction caractéristiqiie; celle-ci peut s'écrire
F(a, :;) = eP« «-*-?««'+• ••;
les p dépendent de z et j3,, qui n'est autre chose que Q{z), peut ne pas être nul. Pour l'erreur commise sur la moyenne,
la fonction caractéristique sera
Kl-)]-
qui pour n très grand se réduit à
ePi»— 1-+- SiaH-
Les valeurs probables de Terreur sur la moyenne et de son carré seront alors (3i et (3^ pour une valeur particulière de Zy et si on ne se donne pas une valeur particulière de 5,
f^i^{z)dz = o, Cl^\df{z)dz>o.
153. La loi deGauss suppose encore 9 fonction de y seulement, / étant égal à .r — 2, tandis que 9 peut dépendre de a^ et de z..
Par exemple, pour tenir compte de ['erreur décimale nous aurions pu prendre
9iy)^\/^e-^''"
0(^37) étant une fonction périodique de x, de période i, qui serait maximum pour les décimales qu'affectionnent certains observateurs et sur lesquelles ils retombent toujours. D'autre part, il y a moins de chance d'erreur si Ton tombe précisément sur une division donnée directement par l'instrument, que si l'on est obligé de subdiviser une de ces divisions au jugé. Alors h ne serait plus une constante, mais une fonction de x qui aurait une période égale à i ; la
JUSriFICAtrON de L\ loi de GAUSS. 223
précision serait plus grande quand x serait un nombre entier que dans le cas contraire; si mênne l'observateur évalue fort bien le dixième, mais ne sait pas donner d'autres décimales, ^{x) sera rigoureusement nul pour toute valeur de x qui ne sera pas multiple de wn dixième.
154. Problème des erreurs commises sur la situation d'un point. — Au lieu d'une seule grandeur ilnesurée, il arrive souvent qu*on en combine plusieurs, comme les deux coordonnées d'un astre, etc.
Je suppose, par exemple, que, pour évaluer la situation d'un point dans un plan, on ail fait n observations, et que l'on ait trouvé pour ses deux coordonnées rectangulaires, X et y y les valeurs
Les erreurs commises sont
:r,— ^ et /i— j, x^—x et 7î — /,
Xn — ^ et yn -y»
Je vais poser
Xn^X-\-ln, yn=y-^rin.
Les erreurs commises sont ainsi représentées par ?i et Y},,
?S et YÎ2,
Ç« et Y)„.
155. On peut se demander quelle est la probabilité pour que les erreurs commises sur la première observation soient comprises entre |i et li -h <i|,, m, et yji -+- dni.
Soit
cette probabilité; il pourrait se faire que 9 dépende de x et de /, mais je suppose qu'il n'en est rien, et que 9 dépend seulement des erreurs.
Ces erreurs peuvent être indépendantes ; alors 9 serait le produit de deux autres fonctions et la probabilité serait représentée par
mais je suppose encore que l'erreur commise sur l'abscisse ne soit pas indépendante de l'erreur commise sur l'ordonnée.
Le raisonnement est analogue à celui de Gauss dans le cas d'une variable. On s'appuie sur le postulat suivant :
Si on a fait un certain nombre d'observations, on reporte les points observés sur un plan ; la position la plus probable est le centre dé gravité de ces points supposés de masse égale.
156. A l'exemple de Gauss, nous admettrons que cette manière de voir est légitime. Quelle est la loi d'erreurs qui justifie cette bypothèse?
226 CIIAPITIIE XII.
Cherchons la probabilité pour que les coordonnées du point soient comprises entre œ et a; -h dœ^ / et / -+- dy.
C'est un problème de probabilité des causes, et il nous faut chercher encore
Yplwi'
TSi est la probabilité a priori pour que les coordonnées soient comprises entre a- et a? h- dxy y ei/ -hdy; représçntons-!a par
'mi=:^{œf y)dj:df.
Pi est la probabilité pour que, si la cause agit, le phénomène observé se soit produit : ici, le phénomène observé, c'est que les coordonnées sont l'une entre
Xi et «, 4-<5^j?,, Xi et \rj-h dxi,
l'autre entre
Xn et Xn-i- dXn,
Xx et /i -+-(//„ Jt et fi-hd/u
yn et /,~hû(/«.
Pi est le produit des probabilités relatives à chacune des observations
/?,r=9(^,,Y],)9(|2,7)2) ... d^dny^a) d\^dr\xdlidf\i . , . dl„df\n*
Soit Alors
IpiXSi
sera
U'h djc dy di:^^ dr^ dç,i dn^ . . . d'i„ dr]„ n^dx dy d\^ drix d\^ dr]^ . . . d^„ dn^
l'intégrale élanl prise par rapport à ^ et/; il reste
H^ dœ dy
U'^ dx dy
Le dénominateur est constant et indépendant de x et de /; la probabilité est donc proportionnelle au numérateur.
157. Quelle sera la valeur la plus favorable? celle qui rend maximum le numérateur lï'^. Or
Quelles sont les valeurs de x et de y qui rendent ce produit maximum? D'après le postulat, c'est la moyenne arithmétique de x^y Xçi, ..,yXn pour x^ et la moyenne arithmétique de/i,/j, ...,y„pour/. Égalons les dérivées logarithmiques aux fonctions suivantes :
drii
dx .
d^ dy
La dérivée logarithmique de nj> par rapport à x^ qui doit s'annuler pour le maximum est
-F(^„ m) - l'Hz. ■n,)-...-i'an. -nu) + 0 = 0,
d'où
aa8 CHAPITRE XII.
La dérivée logarithmique par rapport à y conduirait à
Fo(?,, ^i) + Fo(H2, ri,) -h. . .+ Fo(?,n fin) = K
Ces deux relations devront être vérifiées toutes les foi? qu'on aura
c'est-à-dire
YJ 1 H- Y], -h . . . -4- Y),i =: O.
158. Il s'agit de déterminer les fonctions 9 et 4^ de telle façon que les deux systèmes d'équations soient compatibles.
Différentions ces deux systèmes, en regardant ^ et / comme constants, et en faisant varierai, y),, Jj, y)2> •••» l«>^rt« La dérivée de B et de B^, dans le second membre, sera nulle, puisque Q et B^ ne dépendent pas de ces quantités.
J'appelle F, et F? les fonctions suivantes :
F?rrFo(UY),). '
Le premier système devient
d'Fi-h«fF2-H...-+-t/F„ = o, c/F;-h^F;-+-...-+-^F); = o,
et le second système est
drii-h dOi-h. . .-h d-Oa^^o.
Tels sont les deux systèmes qui doivent être équivalents. Les deux premières équations doivent être une combinaison des deux dernières; nous devons avoir identi-
quemenl
= A fl?5, + B rfyj, H- A <^42 4- B û^Y)2 H- . . . H- A <:/t„ -h B drir,*
IdeiiUnons les deux membres :
. ^1 dFi ^ dFn
~'dî^~'d^ 'dT^,'
drii df\t ' ' ' do„
A ne devrait dépendre que de |t et de yî,, puisqu'il est égal
dF, à -jr^; il devrait aussi ne dépendre que de^aetdeo^, puisqu'il
est égal a -rr-; • • • •
Donc A. et B sont des constantes : Fj est une fonction linéaire de ^, et de y),.
De môme F\ est une fonction linéaire de ^i et de yji. J'ajoute que, en représentant F, par
F,=^A?,.H-Br),-+-C,
la constante d'intégration G est nulle.
En effet, si je remplace Fj, Fj, ..., F„ par leurs valeurs, j'arrive à
A (^, -f- £2 4- . . . H- In ) -h B (•, . H- YÎ2 + . . . -f- Y)„ ) -4- /J C — 9.
Cette équation doit être satisfaite toutes les fois que Donc
23o CHAPITRE XII.
et, comme 9 est indépendant de w,
I[ en résulte que ^ est une constante.
Pour que la théorie de Gauss soit applicable, il faut que Ton n'ait aucune idée a priori sur la valeur de la quantité cherchée.
On aurait de même
-hEo,.
D'ailleurs B = D, car
dru
et Ton a
drii
