Si les observations sont indépendantes, ^ est le pVo
232 CHAPITRE XII. -- ERREURS SUR LA SITUATION d'uN POINT.
duit de deux fonctions. P sera alors la somme de deux fonctions dépendant chacune d'une seule variable ; donc le terme en ^1 Yj, disparaît.
Cela veut dire que les ellipses ont leurs axes parallèles aux axes de coordoiinées.
Pour que l'écart entre le point visé et le point observé soit indépendant de la direction, l'ellipse devra se réduire à un cercle.
On pourrait encore regarder comme indépendantes Terreur en abscisse et l'erreur en rayon vecteur.
C'est là-dessus qu'était basée une démonstration de la loi de Gauss, déjà citée au paragraphe 16, et dépourvue de valeur.
161. La méthode des moindres carrés sert à déterminer des quantités «/,, u^, ..., iip qu'on ne peut mesurer directement, mais dont on mesure certaines fonctions z^^ z^, ..., z„.
Pour les mesures de ^,, z^, ..., z^y n observations ont donné ^,, x^ . . ., Xn ; on a commis des erreurs. Sur zi l'erreur// est
yi=:Xi—Zi.
Le problème ne se pose que pour n> p, car pour n=p le système d'équations donne une solution unique ; pour n<^pf il n'y a pas assez d'équations, et le problème est indéterminé.
Pour w>/>, il y a trop d'équations : quelles sont alors les quaniités les plus convenables à prendre pour les w?
Éliminons les p quantités // ; on est conduil kn^p équations
Ce sont les équations de condition.
On a parfois avantage à prendre les équations. de condition sous cette forme.
Parfois il est préférable d'exprimer les z en fonction des u.
Nous traiterons un exemple avec l'une et l'autre méthode : le premier relatif aux planètes, le second à un problème de triangulation.
162. La première partie de la méthode des moindres carrés, que nous abordons immédiatement, est de déterminer les valeurs les plus convenables des u. Dans une deuxième partie, nous nous occuperons de l'erreur commise.
La cause inconnue est que les quantités u soient comprises entre certaines limites; les quantités observées xt sont elles-mêmes comprises entre certaines limites. Appliquons une fois de plus la formule
xsi est la probabilité « priori pour que la cause ait été mise en jeu, c*est-à-dire ici pour que les quantités n soient comprises entre «i et «i-f^ ^w,, u^ et u^-i-cluif .... Uf, e\ Up-\-dup. Cette probabilité peut se représenler par
^{uj, u^, . . ., Up)dUidui. . . dup,
^ aura des formes variées suivant l'idée qu'on se fera a priori des quantités « : il y a la un très grand degré d'arbitraire.
Pi est la probabilité pour que xi soit comprise entre ûPï et Xi-\-dxiy en supposant que les u aient eu les valeurs que nous leur avons attribuées; j,, z^, ,.., Zn élant données en
MÉTHODH DKS MOINDRES CARRÉS. 235
fonctions des w, la probabilité de l'erreur comnnise sur chacune d'elles sera respeclivennent
9i (7. )<a(ri — 9(^.1 — -zi)û?^i,
La probabilité /?/ que nous cherchons est celle pour laquelle toutes ces circonstances se produisent à la fois ; c'est une probabilité composée :
^/=?i(ri)92(r2)... ^n{yn)dy,dy^... dy„.
J'abrège un peu l'écriture en posant
dux dUi . . . dupzzzdtù^ et d'autre part
dy\ dy^ . . . dfn ■= dx^ dx^ . . . dx„ z=z dùi'. Alors
et
pimi='fl^d(sid(ti' piXSi W^ dtx'i d(ii'
Comme on n'intègre que par rapport à db^, dt^' disparaît.
Telle est la probabilité qu'il s'agit de connaître, à savoir la probabilité a posteriori pour que w, soit compris entre m,et Ui-i-dui. Cette probabilité, puisque le dénominateur est constant, est i toportionneile à II, fonction des u, et à ^ d(^ qui représente la probabilité a priori et qui est aussi fonction des u.
a36 CHAPITRE XIII.
163. Pour obtenir la valeur la plus probable des quantités u, il faut cliercher le maximum de Il'J^d'co.
L'hypolhèse la plus simple sur vj; est tj; ::= i : reste à déterminer le maximum de II.
L'hypothèse la plus simple sur lès cp est qjue les erreurs suivent la loi de Gauss.
9k(yk) = ^^-^e-^'^yî.
Alors
Il sera maximum quand la parenthèse, c'est-à-dire
sera minimum.
C'est une fonction connue des u : les quantités hu hi, ..., ^„ représentent les poids des observations, et ce qu'il faut rendre minimum, c'est la somme des carrés des erreurs commises, chaque carré étant multiplié par le poids de l'observation correspondante.
iGk: On arriverait au môme résultat sans admettre la loi de Gauss, pourvu que l'on suppose les erreurs accidentelles petites et les erreurs systématiques nulles.
En effet, supposons les quantités y très petites : quelle que soit la forme attribuée aux fonctions cp, "nous serons amenés à quelque chose d'analogue. Il s'agit de rendre maximum le produit des o,.
Je suppose 9/ paire, et je développe par la formule de Taylor logQ/ changé de signe.
~loga),(/,) =«1 -hi>,yï -+-^1/; -+-...,
— logcpsCra) =a.2-]-b,yl -i- c.yt +...,
— Jog 9« ( r„) — an 4- bnf;, -h c„yi
MÉTHODE DES MOINDhES CARRES. 287
La somme des logarithmes changés de signe doit être minimum, c'est-à-dire
Je différentie par rapport à Uk :
Comme les y, sont supposés très petits, on peut en négliger les puissances supérieures, et tout se passe comme si nous avions à rendre minimum Ibiff. En admettant donc que la loi de Gauss ne soit pas vraie, la véritable loi n'en sera pas très différente <^a/i5 Vinter\>alle utile.
De deux choses l'une, ou bien les observations sont sensiblement concordantes, et, comme nous venons de le voir, la méthode des moindres carrés sera applicable; ou bien, elles ne sont pas sensiblement concordantes, et dans ce cas les observations ne vaudront rien et il n'y aura rien à en tirer.
165. Nous ne saurions cependant nous contenter du raisonnement qui précède, car ce que nous voulons obtenir, c'est la ydi\e\iv probable des u (et non la plus probable).
La probabilité pour que œ soit compris entre x el œ-hdx étant (p(^) dûc, la valeur la plus probable de x est celle qui rend maximum 9 (^)<i^.
La valeur probable de j:^ est l x^{x)dœ.
La valeur probable de u étant u^, la valeur probable de la fonction «,
ne sera pas «J.
Mais si les z sont fonctions linéaires des u, les valeurs
ou
probables des z correspondent aux valeurs probables des u,
Zi — A/i Wi + A/2 «-2 -f- . . . -f- A/^ Up -h B/.
CUdcù représente la probabilité pour que la f«™° quantité Ui soit comprise entre w^ et «,- 4- di/i. Soit ul la valeur probable de u^,
ul=: j CRu/cdùi.
La valeur probable de Zi, soit «?, sera ? = A/i y CIIm, t/w -hA,-2 fcnu^dM -{-...
-hAiplcnupd^+.Bi fcndoi,
et comme / CII^^gj est la valeur probable de l'unilé, c'està-dire I,
16Q. Je vais supposer d'une part 4* constant; d'autre part que la loi des erreurs est celle de Gauss; enfin que les z sont liées aux u par des relations linéaires.
Je vais établir que la valeur probable des u est celle qui est donnée par la méthode des moindres carrés.
Le produit /?,gt, atteint son maximum quand la fonction P
est minimum.
Soient u\, u\, ..., mJ les valeurs des u qui rendent celle
MÉTHODE DES MOINDRES CARUÉS. iSg
expression minimum. Ces valeurs serontaussi, comme nous allons le voir, les valeurs probables des u. On a
La valeur probable de u^ esl
n d(ji fn dcsi
11 faul démontrer que
/n Uk d(f)
ul =
c'esl-à^dire On a
Jl{uk-ul)d(^ = o.
yi—^i—
Xi est connu, zi est du premier degré par rapport aux u : P est donc un polyrv>me du second degré par rapport aux u, P atteint son minimum quand
Wl=«Î, Ui — U\y ...,
Uk^ul
Cela veut dire que
PrrP,-^P„
Pj étant un polynôme homogène et du second degré par rapport à («i — «^), («s — «2)>"-' ("/t — "î), •••; et Po étant la valeur de ce minimum.
Nous avons à démontrer que
Cc-^e-'*'(^/,^-- ul) ^^ = o*
•^40 CHAPITRE XllI.
Ce-P-e-P» est une fonction paire des quanlilés Ui — ul; Uk - u\ est une fonction impaire. Comme l'inlégrale est prise de — 00 à H-», elle est bien nulle.
Ainsi ces valeurs des u sont non seulemeiitles valeurs les plus probables, mais les valeurs probables.
