En général, en est-il ainsi

Si les opérations sont sensiblement concordantes, les erreurs sont petites, et tout se passera comme avec la loi de Gauss.

Quelle que soit la forme des fonctions F, si le cbamp de la variation des u est très restreint, nous pourrons regarder les 5 comme linéaires.

Pour celte mêirie raison, c est-à-dire si le champ où peuvent varier les u est très restreint, la fonction «J;, qui était d'abord si arbitraire, peut être regardée comme constante.

C'est grâce à cet ensemble de circonstances que la méthode des moindres carrés peut être considérée comme applicable, toutes les fois que les observations sont sensiblement concordantes et dénuées d'erreurs systématiques.

168. Ceci posé, voyons comment les calculs doivent être dirigés.

Nous connaissons les fonctions z des u : ceux-ci sont au nombre de py et un nombre d'observations n, plus grand que py nous a donné pour ^,, ^2» •••> 5„ les valeurs

ûCyy .3721 • • • ) -^n»

Il y a plus d'équations que d'inconnues; cherchons la meilleure manière d'y satisfaire d'une façon approchée.

Une première approximation donnera Mi, Wj, . . . , Up. Supposons qu elle soit assez bonne pour qu'on puisse négliger le carré de l'erreur commise: soit />/ celte première approxi-

MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉE. 34l

mation pour «i :

Si nous développons les zi suivant les puissances croissantes des (^, d'après la formule de Taylor, et en négligeant les carrés des t^/,

^,-= A/.1 Pi -+- A/g (^j -h . . . 4- kip Vp 4- B,-;

on aura de la sorte n équations qui sont devenues linéaires. Il faut rendre minimum

Écrivons que les p dérivées par rapport aux p quantités \i fj, ..., Vp sont nulles :

Or

dzi

-7— :=rA//,;

dv,, l reste

169. Nous sommes donc conduits à la règle suivante: J'écris les équations ci-dessous qui ne sont qu'approchées :

Xi — 'Bi—An^i-h\iiVi-h...-^AipVp j:„ — B„ = A„t (^1 -t- A„2 ^'s 4- . . . 4- A„/, f V

/«iA,„ /12A2,,

hnAiiA.

Non seulement ces équations sont approchées, mais elles ont incompatibles puisque «>/>.

Je multiplie les deux membres de la première par Ai Ai, ; eux de la seconde par AjA,,; ... ceu;c de la «'•-'"« par h^Anx t. j'ajoute lés résultats membre à membre.

p. le.

^4a fïHAPITRB Kîll.

J'obtiens ainsi une première équalion linéaire en ^ et (^; je me suis sefvi des coefficients

A|Ai;t, ^|Au, ..., hjtX

nk

où j'ai fait â: — i. Si je fais k égal successivement à 2, ...,/?, j'obtiendrai les nouvelles suites de coefficients

et par conséquent/? équations linéaires pour les ç, La résolution de ce système répond au problème.*