Nous avons cherché à rendre minimum
où hi est le poids de rohservàtion i.
On peut ramener le roblèrne au cas où tous les poids sont égaux. Posons
et alors
x\—Xi\fiïi\
hi{Zi— Xi)'—{/hiZi— sfhiXiY— {z'i — x'tY, et Ton a à rendre minimum une expression telle que
ilk. Nous avon^ vu qu'on pouvait diriger les calculs de deux manières. Voici un exemple de chacune.
Premier exemple. -— On observe un point M d'un certain
Fig. i8.
nombre de stations Sj, S2, S,, ..., dont la position est parfaitement connue; on mesuré l'angle de MSi,par exemple,
avec une direction fixe MSo, en d'autres termes l'azimut de M, soit 9, ; et ainsi de suite.
Quelle est la position la plus probable du point M d'après ces visées ?
Soient zc, y les coordonnées de M; «/, bi celles de S/; 9/ l'angle de M S/ avec MSo pris comme axe des abscisses :
arc tang
y — bi
ai
Les équations en 9, sont, en général, incompatibles, les lignes de visées ne passant pas exactement par M et formant autour de ce point un petit polygone. Un point quelconque pris à l'intérieur de ce polygone
sera une première approximation, Mo(>ro, Jo)» Je pose
Fig. 19-
? et n seront de très petites quantités.
Posons
(Dans le cas de Ja figure 19, w^ serait négatif.) D'ailleurs
9^ = arc tang
Développons fi suivant les puissances croissantes de et Y), en nous arrêtant aux termes du premier degré :
Yi(j?o— <?,)— Kro— bi) (^0— «/)'-t-(/o— ^/)*
Soit
Alors
La valeur observée de 9,- e3t 4^,,
Si sera la valeur observée de w/. Les équations que donnent les observations seraient les suivantes :
Ces équations sont, en général, incompatibles, parce.que lés observations ne sont pas exactes ; il faut choisirJetYjde façon que
I(A,J-f-B,YJ-£,)'
soit minimum.
Je différentie par rapport à I et à Y) :
1 A/( A/? -h B/Y) — Si) = G, 2B,(A,f-hB,Y]-£,)=o;
d'où deux équations linéaires pour déterminer ^ et y},
?2A* 4-y)I;AB=:2A£j 52ÀB-hYî2B^ =2;B£.
175. Deuxième exemple. — Supposons qg'on ait mesuré neuf angles : soient Zi les valeurs de ces angles, x/ les valeurs observées, // les erreurs. Imagirtons qu'on ail entre
a48 CHAPITRE XIII.
ces neuf angles les quatre relations de condition
s j -f- ^2 4- -Sj = 1T,
Zt-\-
Zz-\-
A, étant une quantité très petite donnée par l'observation î'excès sur deux, droits de la somme des angles observés,
O^i -h a?2 -h .373 == ÎT H- Al,
d'où De même
La quatrième équation de condition exprime que
Il s'agit de déterminer les y de façon que la somme
soit minimum.
Je vais introduire quatre quantités auxiliaires, e,, e^, s^, £4, correspondant aux quatre quantités ^i, /ij, As, h,,. Ainsi, pour T'a, je me servirai du coefficient de /s dans la première équation, où il est i, puis dans la deuxième, puis dans la troisième, où il est o, puis dans la quatrième, où il est i :
On trouve de même
MÉTHODB DES IfOINDlABa CARa^S. ^49
Pour déterminer les s, je remplace les y par leur valeur
d'au
3(£i4-fi,H-Ê,)-f.3e4=A,-HA,-hA3
et ainsi de suite.
Ce procédé est ici plus commode que l'autre. Il y a neuf angles et quatre équations de condition, d'où cinq arbitraires; nous avons eu à résoudre quatre équations à quatre inconnues, et par l'autre méthode nous aurions eu cinq équations à cinq inconnues.
176. Autre exemple. — On a visé un certain nombre de points Mi, M2, ..., %n qui ne sont pas en ligne droite et qui devraient l'être : quelle est la droite la plus probable?
Il s'agit de déterminer n nouveaux points en ligne droite, de telle façon que la somme des carrés des erreurs soit minimum.
L'erreur est double : elle porte sûr l'abscisse et elle porte sur l'ordonnée. Si je suppose que la probabilité d'une erreur sur l'abscisse soit la même que la probabilité d'une erreur sur l'ordonnée, la somme des carrésdes erreurs sur l'abscisse £t sur l'ordonnée sera la somme de quantités telles. que
scp;!
Nous avons besoin, eh réalité, non des points P,, mais de
la droite D qui passe par les points P, : je dis que M/P/ doit cire perpendiculaire à D.
Si elle ne l'était pas, soit M, P^ cette perpendiculaire; en remplaçant M/P, par M,P;, je diminuerai la somme qu'il s'agit de rendre minimum, et par conséquent elle n'était pas minimum.
Je ne m'occupe plus des P : je vais chercher une droite telle, que la somme des carrés des distancés des points M, à cette droite soit minimum.
C'est le, moment d'inertie des points par rapport à cette droite qu'il faut rendre minimum, en supposant que chacun des points ait été affecté d'une masse égale à i.
Comme première propriété, la droite passe par le centre de gravité. Si l'on fait tourner la droite, on sait que le moment d'inertie varie suivant une loi très simple, qui amène à la définition de l'ellipsoïde d'inertie. Ici, cet ellipsoïde serait infiniment aplati, puisque les points sont dans un plan; la droite est donc le grand axe de l'ellipse à laquelle il se réduit. Cette ellipse d'inertie serait d'ailleurs une ellipse très allongée, puisque les points sont sensiblement en ligne droite.
177. Dans le cas où l'on vise un point dans un plan, la probabilité d'une erreur en abscisse peut n'être pas la même que celle d'une erreur en ordonnée. Les deux erreurs peuvent aussi ne pas être indépendantes. Nous avons étudié ce point en détail dans le Chapitre précédent.
Nous avons été conduits à considérer, dans le cas du point visé, une série de petites ellipsçs; la probabilité que les coordonnées du point soient comprises entre .r et ^r -+- dx^ / et 7 -H dyy s'est exprimée par une fonction
^ dx dyy
MÉTHODE DfiS MOINDRES CAftRÉS. a5l
et le polynôme du second degré P, égalé à une constante, nous a donné l'équation d'une de ces ellipses.
Revenons aux points en ligne droite.
Du point Ml comme centre je décris une ellipse homothétique à l'ellipse normale, et tangente à D. Je fais la somme des carrés des grands axes des ellipses ainsi décrites autour des divers points M, et j'écris qu'elle est minimum.
Ce cas se ramène aisément au précédent. Par une transformation homographique, ces ellipses peuvent devenir des cercles. Si, par exemple, le petit axe est la moitié du grand axe, on multiplie toutes les abscisses par 2, et l'on n'a plus qu'à chercher le moment d'inertie comme tout à l'heure.
