Je dis qu'on a identiquement
En effet
/i = £A,-he'B,.
2///;-^£2A/y/-h£'2B/.)v=£[x-+-Ê'fx', 2/i-' :;=£2A,/;.4-e'2iB,/;=:£|:x-^£>'.
CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 267
Autre identité
En effet» en développant i(7—r')-,
ce qui est bien une identité, puisque en vertu de la précédente identité
ly"—2lyy'-hly'^—o,
194-. Cherchons la valeur probable 2./' . C'est une forme quadratique par rapport aux r.
On multiplie m^ par la somme des coefficients des termes carrés, ou, autrement, on considère Yéquation en S.
Soient F et F' deux formes quadratiques par rapport à n variables; si S est une constante,
F - SF'
sera encore une forme quadratique par rapport aux n variables.
En écrivant que le discriminant est nul, on obtient une équation d'ordre n en S, dite équation en S.
La propriété de cette équation est de ne pas changer quand on fait un changement linéaire de variables : c'est une équation invariante.
Supposons maintenant que nous nous proposions de calculer la valeur probable d'une forme quadratique ; je prends F'=:2/^ Écrivons que le discriminant de
F-S2/= est nul.
La somme des racines de cette équation est la somme des coefficients des carrés.
^8 Soit
Le discriminant donne
ou
S»H- (A -h A'-f- A'')S*H-. . .rz;: G.
La somme des racines est bien A ■+■ A' 4- A"; d'autre part, la valeur probable de y\ étant m* et celle de ri/2 étante, celle de F sera
mVA-h A'H-A").
Comme règle, on forme donc F — S2/*, on prend la somme des racines de l'équation en S et on multiplie par m*.
195; Aj^pliquons ceci à la forme quadratique 2/*. ^oit la forme
ôu< d'après le paragraphe 193,
Formons l'équation en S et cherchons la somme des racines.
Les quantités y'- s^xpriment linéairement en fonction de n - p d'entre elles; 2v'* se décompose donc en une somme de n —p carrés, et Ton a, les J étant des fonctions linéaires des y.
Les 7 — y s'expriment en fonction de p d'entre elles, et
Ton a, les tq étant des fonctions linéaires des j.
Les n fonctions linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes. Remarquons en effet qu'on a
Le premier membre est une somme de n carrés
le discriminant de la forme du premier membre est i. Le second membre ne peut avoir pour discriminant o. On a ainsi
Le discriminant est
n — p racines sont égales à i, et/? égales à o, la somme des racines est /i — /?.
La valeur probable de 2y* est ww*; d'après la règle exposée plus haut, la valeur probable de 2/' sera
Donc
par différence,
Ain&i : i® la valeur probable de la somme des carrés des erreurs commises est «m*; 2» la valeur probable de la somme des carrés des corrections faites est (n — /?) m* ; 3° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs après corrections est pm*.
196. La valeur probable de ly' est plus petite que la valeur probable de ly'K
C'était aisé à prévoir.
Nous cherchons à déterminer les corrections de façon que la somme des carrés des corrections soit minimum : c'est le principe même de la méthode des moindres carrés.
A mesure que les observations augmentent, si nous considérons l'erreur commise sur une observation, nous allons démontrer qu'elle tend vers zéro.
Supposons que lesobservalionsaugmententconstamment; le nombre^ demeure constant, ainsi quepm-; le nombre des termes va en augmentant: il y a des chances pour que chaque terme diminue constamment.
Si nous considérons la plus petite des quantités [j'/c— y'kï^f
elle sera certainement inférieure a -^ —
Observons une même quantité n fois; une seule variable indépendante :/? = I .
Mf-y'r
Nous avons n termes; n observations faites dans les mêmes conditions; donc
197. Jusqu'à présent, nous avons supposé que la précision était connue, mais que les observations n'étaient pas faites.
Le problème se pose autrement; on ne sait rien sur la précision, mais les observations sont faites. . Nous voulons en conclure la valeur de h ou celle de m^
Voici la solution.
Les j ne sont pas connues; les >' le sont par la méthode des moindres carrés. 2/'2 est connu.
J'égale sa valeur à la valeur probable calculée a priori
d'où m^.
