Celte méthode a été critiquée par J. Bertrand

En effet, si on l'avait a|)piiquée à une aulre combinaison, par exemple 2y'*, on en aurait déduit une valeur de m qui n'eut pas été la même. La méthode peut devenir suspecte.

C'est un problème de probabilité des causes, et nous appliquerons les règles de ce calcul.

On demande la probabilité a posteriori pour que h soit compris entre certaines limites.

Cette probabilité est

IpiWi'

Wi est la probabilité a priori de la cause, c'est-à-dire pour que h soit compris entre h et h-{-dk; pi est la probabilité pour que, si la cause a agi, les observations aient donné des résultats respectivement compris entre x^ et jr,4- dx^^ x^ et x^ -4- dx^y . . ., Xn et Xn -|- dx ,^.

Cherchons la valeur probable d'une fonction de A, f{h); cette valeur probable est

lf{h)p,mi

IpiWi

Faisons de suite la remarque que le résultat va dépendre de la probabilité a priori; le résullatdeGauss ne peut donc déjà être tout à fait exact.

Si je détermine A par

cette valeur probable de h dépendra de la fonction /.

Si je cherche la valeur la plus probable, ce sera la même chose.

On peut se tirer d'affaire à une condition : c'est que le nombre n soit très grand. Le facteur Wt n'a plus grande influence; ainsi, pour

toutes les méthodes conduisent au même résultat, si toutefois le nombre des observations est très grand.

199. Lorsqu'on observe une quantité s, et que les observations ont donné ^j, x^y . .., x^y on peut représenter xsi et Pi par

Pi^=Hdxidx^. . . dxn.

La probabilité a posteriori pour que h soit compris entre h et h H- dh^ et z entre z et z-\- dz, est

Jl^{hy z) dh dz dxx dx^ . . . dxn j U'^{hf z)dhdz dxi dx^ dx^

Les différentielles dxi^ dx^, . . ., dx^ disparaissient dans ce rapport, et il faut intégrer par rapport à A de o à 4- oo et par rapport à s de — oo à •+- oo.

Imaginons que^ au lieu d'une quantité «, il y en ait /i, Zi, Ziy .*., z„f qui dépendent de p variables £<i, u^, .,., i/^, et que lés valeurs observées des z soient Xi, a:,, . . ., x„; les erreurs commises sont /,, y,, .,., /„.

iSi sera la probabilité a priori de la. cause : ici, pour que h soit compris entre h et h -i- dh, et pour que m, soit corn-

CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 278

pris entre £/, et m, -+- du^y u^ entre u^ et u^ -h du^, . . ., mi=z ^{h, «/,, fij, . . ., Up) dhdu^du^ . . . du y.

Pi sera la probabilité de l'effet en supposant que la cause ait agi

/>, =r n dx^ dXi . . . dxn, où

La probabilité a posteriori sera

n 4^(/t, ^i, f/g, . . ., iip) dh du^ du.j^ . s . du^p cf^i dx.^ . . . dx^ I n ^{/i) Uxy «2, . . . ^ ffp) dh diii du^ . , . dup dx^ dx^ . . , dx^

Il faut intégrer par rapport à h de a à -h oo, et par rapport aux a de — oo à 4-00 ; quant aux aifféreniieiles des ^, elles disparaissent comme précédemment.

La probabilité cherchée s'écrit donc

H^dhduxdu^. . . dup iIL^dli dui dui . . . dup

200. Elle dépend de îa fonction 4* QU' ^st entièrement arbitraire, et qui est soumise à l'idée que nous nous faisons a priori de la valeur des u et de l'exactitude que nous attribuons a priori aux observations ; mais ^ ne joue pas le plus grand rôle si les observations sont nombreuses.

Je vais appliquera cette fonction ^ une forme particulière, en supposant quelle ne dépend pas de h.

On justitle cette manière de voir en disant que les mesures donneront en général aux u des valeurs très voisines les unes des autres ; qu*elles sont comprises dans un petit iiiter- P. »8

valle où la valeur de z variera peu si les observations sont concordantes.

La valeur probable de /i^ sera

I lït}> dh dui du^ . . . dup

Ces deux intégrales doivent être calculées de la même manière : h y varie de o à -h oo eï les m de — oo à -f- oo .

201. Qu'est-ce que 2/-? C'est une fonction de ^/.qui est connu, ei de z,- qui est une fonction des u.

Par la méthode des moindres carrés, on obtient comme valeur à adopter pour m/ la valeur «® : les valeurs des u ainsi définies ne sont pas exactes, mais elles sont les plus convenables à adopter,

lli= U^ -+- Çi,

i'i étant très petit.

Les //Sont des fonctions des V,, et on peut les considérer comme des fonctions linéaires des Çi, en négligeant les carrés.

Le polynôme

sera du second degré par rapport aux r,-, mais non homogène; il atteint son minimum quand les r/ sont nuls. Les équations

dP

dVj

doivent être satisfaites quand les c, sont nuls.

CALCUL DE l'erreur A CRAINDRE. 2/5

Donc P ne renferme que des termes du second degré el du degré zéro; il n'y a pas de termes du premier degré.

Po est le minimum de 2/% ce qu'on a appelé 2/'% dont la valeur probable est (/i —p) m^ Donc P© est très grand en général, et il y a d'autant plus de chances qu'il soit grand, qu'il y a plus d'observations.

A étant une constante.

Le polynôme Pjcst obtenu en additionnant entre eux les termes, du second degré ; il y a un très grand nombre de carrés, il y en a n, et les coefficients du polynôme Pj sont du même ordre de grandeur que n.

Q étant de l'ordre de grandeur de A.

La valeur probable de IC^ sera

f^f-X e-/'(n-p)(A+Q) d/i dv^ dv^ . . . di^p

on intègre par rapport à A de o à 4- oo , et par rapport aux

(^ de — 00 à -+- 00 .