La première intégrale porte sur
qui dépend de h et sur
qui dépend des v.
Il faut calculer haut et bas
^ dv^ di'2 . . . d{>p.
Q est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux V ; je pose
hQ devient un polynôme QMiomogène etdu second degré par rapport aux w.
L'iniégraie devient
I e- («-/') Q ^(^j <^ùt)2 ... <^(0p /i" 2.
Les limites de l'intégrale restent les mêmes, et la valeur de l'intégrale est
où B ne dépend pas de h.
Alors
OU
2 ^^hK[n-p)flh
ll^^ '
Je pose
ule qui
: dépend (
la 4^.
203. Si nous voulions pousser plus loin, il faudrait rntroduire une hypothèse sur ^. Cependant, quand on suppose n — p très grand, la fonction 4* n'a plus d'influence.
Lorsqu'on a
F, ^« dh
et qu*on fait croître n indéfiniment, la limite de ce rapport est
où Ao est la valeur qui rend <D maximum. On a donc ici
c'est-à-dire
h^ étant la valeur qui rend <b maximum.
A cette condition de n très grand, la valeur probable de h"* ne dépend plus de 4^; la valeur probable de h est toujours Ao, quel que soit v.
Il n'en serait pas de même si Ton ne supposait pas n très grand.
De plus, n doit être très grand, non seulement en valeur absolue, mais par rapport à p d'une part et à v d'autre part.
Ainsi, si
il faudrait rendre maximum non plus ^, mais ^A*.
204. Si n n'était pas très grand, on aurait à rendre maximum •
d'Où
si n est grand, la valeur de h est à très peu près celle qui rend maximum 0(/i). On a
fh r- — :=^ -y
car
ly"=in-p)X.; '
ce résultat est conforme à la loi de Gauss, 2/'^=(/i — p)m*.
La valeur probable du carré de l'erreur est
m- = — ;- J 2/io
d'où
et par suite
c'est bien la même valeur.
Il ne faudrait pas attacher grande importance à ce qu'on a
raisonné sur /i — /? au lieu de /i, parce que «est très grand
et que est A^oisin de i.
La règle est donc justifiée si le nombre des observations
est très grand.
