THÉORIE DE L'INTERPOLATION
205. Je vais appliquer la méthode des moindres carrés à une question nouvelle, la recherche d'aune fonction inconnue f{œ).
Nous mesurons certaines valeurs de cette fonction.
Construisons la courbe
dont on a ainsi un certain nombre de points.
On pourrait toujours, par ces points M,, M.2, . ., M„, faire passer une courbe, mais cette solution ne serait pas la meilleure : on fait passer une coorbe près de ces points, aussi continue que possible.
Un autre procédé présente aussi un certain degré d'arbitraire comme le procédé géométrique: je veux que ma courbe soit de degré ^ aussi petit que possible^
/(rr) — Co + C, ^ -h . . . 4- C^^*' ;
THÉORIE DE l' INTERPOLATION. 281
q est plus petit que /i — i ; car si q était égal à n ~ \, on aurait une fonction satisfaisant exaclement aux conditions. Quelle valeur atlrîbuer à 9? Cette valeur est arbitraire. On la choisit d'abord assez petite, puis, si elle est insuffisante, on introduit un ternme de plus dans le second membre, et ainsi de suite.
206. Laissons de côté, ce mode de tâtonnements et supposons 9 .choisi.
Nous déterminerons les coefficients du polynôme de telle façon que
soit minimum. f{x) est linéaire par rapport aux coefficients C. Je vais poser
La question se rattache au développement en fraction continue du rapport
Ce développement s'opère comme si Ton cherchait le plus grand commun diviseur de F et de F'. On aura successivement
Ri=Q3B,-f-R„
R» -3= Qrt-iH/»-ï-H Rrt-i7 Il n'y a pas de terme R^ dans la dernière équation, car
En général, F est de degré n. F' de degré n — \, Rj de
degré /i — 2, Rp de degré n-p-i, R„-i de degré o et tous
les Q de degré i.
On a
Ainsi
207. iNous avons à considérer les réduites successives de ce développement. Comme
F-Q,F=Ri,
à la place de
je puis écrire
Si je pose
THEORIE DE l'iNTERPOIATION. 283
j'aurai
Si je pose
j'aurai
NjF-DaF'r^R,.
Nous exprimerons de la même manière un quelconque des restes successifs,
Comme
R,.,2=r(N,F - D,F') - Q.>2(N,>,F - D,-^.F), • si je pose
N/H 2=N/ — Q,•^2N/^,, D,>2 =:=: Ui — \it-H2 "i-hu
j'aurai encore
H,^2=Nm,F-D,^2F.
Sur ces relations de récurrence, on constate que
Ri, R2, ... et R;,j
sont respectivement de degré n — i,n — 3, ... et i, et que R„, est une constante. Ni est de degré o, Nj de degré I, ..., N/ de degré i—i. On voit aisément que, si cette proposition est vraie pour N/ et N/h i, elle l'est encore pour N,>j. D/ est de degré i,
208. Je dis maintenant que N, et D/ sont le numérateur et le dénominateur de la réduite d'ordre i.
a84 CHAPITRE XV.
Les relations de récurrence rendent ceci évident; mais on peut le voir autrennient.
J'écris la suite
Fr:::Q,F-4-R„
d'où je déduis
Qi
Je puis encore écrire l'équation suivante Supposons que l'on veuille calculer la réduite
Je n'ai qu'à faire R/ = o dans l'égalité précédente, et faire aussi
a,= Q,R;-t-R;, les R étant devenus des R'.
THÉORtE DE L INTËliPOLATION. 285
On a entre les H' égaïement des relations de récurrence,
R/ est nul; donc, N, et D, étant ies mêmes que plus haut,
j^ est bien )a t**™* réduite.
Quelle relationy a-i-il entre celte réduite et le problème proposé?
209, L'équation fonda mentale est
Faisons atiieniion au degré de tous ces polynômes. Rappelons que : N/ est de degré i — i ; F est de degré n; D, esî de degré i; F' est de degré n — i; R, est de degré n — ï — i.
De Téquation fondamentale je tire:
Je muitipiie les deux membres par j?i^,
Je m^en vais évaluer ia somme des résidus dans [es deux membres; notons d'abord que pour ce calcul nous ne devons tenir compte que des deux fractions où F entre au dénominateur.
286 CHAPITRK XV.
Supposons ensuite que, dans une fraction rationnelle, le degré du numérateur soit d'une unité inférieur à celui du dénominateur, par exemple
. A'^«-+-B'jr«-*-icetle fraction se décomposera en
