Tri^^I

Si je multiplie par ^,

tendra vers ^A, ou la somme des résidus, quand a: croîtra indéfiniment, les autres X (c'est-à-dire celles où ^ — « entre au dénominateur à une puissance plus grande que i) s'annuleront.

Mais

lim -jr- — o, pour :r zr: oo,

si le degré de a-P est plus petit que celui de Q. Donc: la somme des résidus sera nulle si le degré du numérateur est inférieur de plus d'une unité à celui du dénominateur. Considérons

le dénominateur est de degré n, le numérateur de degré n — I — « -f- /x. Si

n — I — i -^ ix<Z n — i, c'est-à-dire

la somme des résidus sera nulle.

TilKORIti DE L INTERPOLATION. -jL^y

Ainsi, quand fx est égal à o,i, ..., / — i, la somme des résidus est nulle.

P 210. Quand on a affaire à la fraction rationnelle j^y que

Q n'a pas de racines multiples et s'annule pour ^ :=:= «, le résidu pour x^na est

Prenons pour a l'une des valeurs qui nous a servi à calculer/(j:*) ; le résidu par rapport à « de

sera

aH-D,(a)F^(a) F'(«) ' ou

a^\ii{a).

Ainsi, pourvu que \l soit plus petit que i,

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de <2,

H en résulte que, si P/i est un polynôme quelconque

d'onire «— i,

Prenons

alors

iï)/,(a)D,(a)=:o.

Cette équation est vraie pourvu que k soit plus petit que l.

288 CHAflTRE XV.

Mais, comme rien ne distingue les deux indices, cette équation est encore vraie toutes Jes fois que k est différent de i.

Les polynomes.de Legendre ont une propriété analogue; pour deux d'entre eu^ ,

on a

v,„v„«fTc= o;

ici, au lieu d'intégrales, on considère des sommes finies.

2il. Nous vaulons obtenir un polynôme d'ordre q plus petit que n — i, dont les coefficients seront choisis de telle sorte que

2[Â,-/(a,-)r soit minimum.

Si/(;r) est un polynôme d'ordre-^, il peut toujours être mis sous ia form^

Il s'agit de déterminer les coefficients C de façon à rendra minimum la somme des carrés