Quel est l'avantage de ces polynômes D

Je supposé que l'on ait essayé d'abord de représenter les observations par un fjolynome de degré ^ : on a trouvé alors Co, C|, ..., C^. On constate ensuite que la somme des carrés des erreurs commises est inadmissible : on se résigne alors à poursuivre avec un polynôme de degré ^ -h i. Tout serait à recommencer, si l'on avait eu recours à un procédé quelconque; ici, au contraire, on n'a qu'à ajouter un terme Cç+,D^H-, (^) : les précédents coefficients Co» C,j ..., C^, ne changent pas, comme on le voit sur l'expression de Q.

214, Le problème se pose déjà quand on veutsimplement interpoler une fonction : pourquoi prend-on habituellement comme solution un polynôme d'ordre « — i ?

Voici une fonction /(^), holomorphe à l'intérieur d'un certain contour, d'un cercle par exemple. Les valeurs que nous avons données à la variable sont petites par rapport au rayon du cercle.

• Pour les valeurs «i, «2, ...,«„ de la variable, on connaît la valeur de la fonction. Il s'agit de connaître la valeur de la fonction pour une valeur x à l'intérieur du cercle.

L'intégrale

f{z)dz

THEORIE m: L INTERPOLATION. ÎQ!

s'annule prise le long du cercle. J)'au(re pari,

fiz) dz

{z — a)){z -— a^) {z —cu)...{z — an)

est la somme. des résidus de la fonction /(s) pour les pôles Xy «1, «2, . . . , a,ij c'est-à-dire

(.r — «,)(a7 — «2)...(J7 — a„) {a^~x){a^ — a^)...{a^ — an)

J'appelle en général P/ le polynôme qu'on obtient en supprimant dans

{z — jc){z — a^){z~a^)..,{z~ a„) le facteur z — a,, et en remplaçant z par a,-. Je pose aussi F(^) = (îf — «,) (^ — «j). . .(^ — «^). Alors

d'où

215. Telle est la formule générale de l'interpolation; au second membre figurent: i" un polynôme entier; 2« l'erreur commise.

Cette erreur est

.^f{i)c)clz œ — «, X — ai Jr ' •

X Z — ax z — a

Si R désigne le rayon de convergence, et que x soit assez voisin de «| pour que

\x — ai\<—,

'V — — et • I

cliacun des facteurs ^- ' sera plus petit que -, et sous le

signe / il y a n de ces facteurs.

Donc JF sera très petit si n est très grand.

S'il était seulement probable que le rayon de convergence ait une certaine valeur, on serait en présence d'une question de probabilité.

216. Je suppose que l'on Sàche a priori que la fonction/(^) est développable, dans un certain domaine, suivant les puissances croissantes de ^,

/(a;)=r: Ao-h A,^ -h

Nous ne savong rien sur les A, sauf que la probabilité pour que l'un d'eux, A/, soit compris entre certaines limites, y et y -+-dy^ est

e-hy'' dy.

Nous connaissons par n observations

/{a,,) = Bn.

Nous cherchons la valeur probable de /(^) pour une autre valeur de or,

C'est un calcul d'interpolation, avec cette différence que nous cherchons un polynôme limite.

Je me hâte d'ajouter que je considère la question comme un simple exercice de calcul, car j'ai introduit arbitrai-

THÉORIE DE l'iNTERPOLATIOX. 298

rement la loi de Gaiiss; autrement le problème resterait indéterminé.

217. Nous avons à déterminer les coefficients A, en nombre infini, de la fonction, à l'aîde de n observations : ici, il y a plus d'inconnues que d'observations, et nous ne pouvons nous guider que par l'idée que nous nous faisons a priori de la loi de probabilité.

Nous nous élevons ainsi en généralité plus encore que nous ne l'avons jamais fait jusqu'ici, puisque nous avons à déterminer une fonction inconnue.

Je vais d'abord ne prendre qu'un nombre fini de coefficients.

218. D'une manière générale, soit un nombre fini d'inconnues,

«1, «2, . . . , «^ ; p est connu.

Je suppose que la probabilité, pour que ui soit compris entre u et u -h du, est représentée par la loi de Gauss,

La probabilité pour que l'un des u s'écarte de zéro sera d'autant plus petite que h sera plus grand.

Nous connaissons les valeurs de certaines fonctions des M,

en supposant les observations parfaitement exactes.

n est plus petit que ^, il y a plus d'inconnues que d'observations.

Je suppose que les x sont fonctions linéaires des u; c'esl

ainsi que, dans l'exemple qui précède, les B étaient fonctions linéaires des A et qu'on avait

BAr=Ao4-Aia*-H

Je pose donc

y* = Ci Ml + CJ. «2 -H . . . + Cj? •«<;,.

Les observations nous ont appris que 7^ est compris entre Xk et axk -h dxj.. Chercher les m, c'est résoudre un problème de probabilité de causes. Les causes, c'est que les u sont compris entre certaines limites ; les effets observés, c'est que les œ sont compris dans certaines limites.

La formule

Pi w/

^Pi^i

va se simplifier ici.

219. Si les u ont des valeurs déterminées, les fonctions linéaires œi, auront également des valeurs déterminées, et la probabilité de ces valeurs sera la certitude; suivant que ces fonctions tomberont ou non entre les limites données par l'observation, la probabilité sera i ou o. Donc la formule de la probabilité a posteriori se simplifie en

si l'on a représenté par/>/la probabilité de l'effet quand la cause agit.

JjSi porte sur toutes les probabilités relatives aux valeurs des u compatibles avec les observations; gt,- est la probabilité a jorfor* pour que les diverses quantités // soient comprises entre certaines limites.

La Ar'*"^" inconnue a pour probabilité d'être comprise entre

THÉORIE DE l'iNTERPOLATION. •IÇf5

ujt et Uk -h du^,

GT/ comportCT? facteurs analogues,

^ /âtâ^t;^^;

j'écrirai pour abréger

JSiZzi n dux dui . . . dUftf

d'où

2^/= 1 n d^l^ dui . . . dup.

Il faut intégrer pour toutes les valeurs des u compatibles avec les observations, c'est-à-dire satisfaisant aux inégalités

œ/,<CiUi-hClut-h...-^C^Up<œf,-i'dûCH'

La probabilité cherchée sera

Wf II dui da^ . . . diip

IfSi

j n dui dui . . . dUf

quand les u satisferont aux inégalités ci-dessus. Sinon l'on aura 0 comme probabilité.

220. Si je cherche la valeur prob'atfle d'une fonction quelconque des w.

1 FUdui dUi . . . dup

I VLdu^ dui. . . dUp

2Ç)i) CHAPITRE XV.

Nous allons transformer ces deux intégrales. On a

•^h < y h < ^h -+■ dxn .

Je vais prendre pour inconnues ji, y^^ ..., /«, et j'y adjoindrai/? — // fonctions linéaires des u tout à fait quelconques, ^i, ^2, ..., :?,,„.

n <:/«! du^ . . . ciup

va se transformer en

n A dvi dy^ . . . dy,i dz^ dz^ . . . dzp.n.

A est le déterminant fonctionnel des u par rapport aux r et aux z; comme ce sont des fonctions linéaires, A est constant. Il vient

YUdyidy^... dy„ dz^ dz. . . . dzp^n

In dy, dy. . . . dy„ dz^ dz, . . . dzp„

Nous avons à intégrer d'abord par rapport aux y; y^ par exemple variera depuis x^ jusqu'à x^-\-dxy^ c'est-à-dire

très peu; la fonction sous le signe / va rester sensiblement

constante, et l'on pourra écrire

dœ^ dx., . . .dx,i j VU dz^ dz^ . . . dz^^n dxi dx^ . . . dx„ j n dzi dz^ . . . dzp n

Les différentielles des x disparaîtront.

FÏI et n sont des fonctions des 5, et nous intégrerons par rapport aux ^ de — oc à H- 00.

n est le produit d'un facteur constant par une exponen-

THÉORIE DE l'iNTERPOLATION. 297

lieile, e-^'""'-^''*"'-^ '^V/'); l'exposant est un polynôme ~ P du second ordre et non homogène par rapport aux z.

221. Supposons F fonction linéaire des z. Cherchons la valeur probable de F.

Les valeurs probables des différentes quantités z s'obliennent en cherchant les valeurs qui rendent minimum l'exposant P : soit jz'j la valeur de zi qui rend P minimum.

Alors

P^rP^-hPo.

Po est une constante, et P2 est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux quantités Zi — c?. L'intégrale

{z,-z^)e-^dz,dz,..,dz„,,

porte sur une fonction impaire par rapport à 4?/ — -sj; en intégrant de— ooà-i-oo, on aura zéro pour la valeur de celte intégrale.

On en déduit que, si F est égale à Fo quand on y remplace

'/ par z^.

{¥^¥o)e-^dzidz,...dzp

est nulle, prise de — 00 à -i- 00.

De même

{¥ — ¥o)lidZidZi. . .dzp.h—o\ et par suite

I FUdzi dzi.,. dzp..n =: Fo / II dz^ dz^. . . dzp„y

c'est-à-dire

Ainsi on obtiendra la valeur probable de F en substituant à z-i les valeurs qui rendent minimum le polynôme P.

222. Appliquons ces principes au problème posé au paragraphe 216.

Au sujet de /(^'), nos inconnues u sont les A et nous avons

P rz. A,A? 4-AiA? -h. . .-+- -^/Ai -+-. . ..

U faut rendre ce polynôme minimum.

Les valeurs des A seront d'ailleurs arbitraires, sauf les relations linéaires données par les observations

Ixrivons que P est minimum. L'accroissement c?P devra être nul quand les A/ s'accroîtront de âki

c?P ~ ^0 Ao «?Ao -I- ... H- hiki f/A, -f- . . . = 0. Les accroissements <iAo, . . . , rfA„ . . . sont liés par

Or, /(«i) par exemple est égal à

/(a,)=:AoH-AiaiH-...-h A/a'i-h

Donc

dko-\- «1 «5?Ai -h ... 4- «î dki~>r . . . = o, //Ao 4- fla «iAi -f- . . . -4- a'j c?A/ -h . . . = o,

^Ao+ flr„flrA,-f-> . .H- «;■ cfA^ -H. . .= 0.

THÉORIE DE L'iNTERPOLATION. 299