Pour que P soit minimum, la première équation dP = o

doit être satisfaite quels que soient Jes dA; cette première équation doit être une conséquence des /« autres relations entre ^A.

Soient £,, Sj, ..., £„ des coefficients convenablement choisis, par lesquels nous multiplions respectivement les deux membres de chacune de ces n relations,

/l.A■z=l£^a'^^eiai~\-...-he„ai^,

Si je pose

le coefficient de £i dans

seracp(jt«,), etc.

Il vient donc finalement

J{x)^= £, 9(.ra,) -}-c29(^«2)-f-. . .-h£„9(j?a„).

Nous disposerons des coefficients £ de façon à satisfaire aux observations, d'où n équations à n inconnues.

22^. La forme de /(jt) dépend des A. Pour que la série qui représente ^{oc) soit convergente, il faut que les coefficients h augmentent avec une rapidité suflisante.

Si Ton a

\^\<9 et |rt/, |<p,

3oO CHAPITRE XV. — THÉORIE DE l'INTERPOLATION.

c'est-à-dire

I xau I < p%

la série sera convergente quand

En somme, cela revient à dire que la probabilité pour que les derniers coefficients en lit s'écartent de zéro devient de plus en plus faible. Il suffit de supposer qu'à partir du «'«"^'^ rang- les h sont infinis. Dans <^{x), les termes extrêmes où entrent A^» ^^i-«-i- • • s'annuleront et 9(^) sera un polynôme d'ordre n.

225. Battage des cartes. — Je me suis occupé dans l'introduclion des problèmes relatifs au joueur qui bat un jeu de cartes. Pourquoi, quand le jeu a été battu assez longtemps, admettons-nous que toutes les permutations des cartes, c'està-dire tous les ordres danà lesquels ces cartes peuvent être rangées, doivent être également probables? C'est ce que nous allons examiner de plus près.

Soit q le nombre des cartes; soit S, une permutation quelconque, c'est-à-dire l'opération qui consiste à faire passer au rang a la carte qui avant la permutation occupait le rang j3; a étant une fonction déterminée de (3. Le nombre total des permutations possibles est </! Il y aura un certain ordre des cartes que nous considérerons comme normal, et que nous désignerons par So; et nous représenterons par S, l'ordre dans lequel se trouveront rangées les cartes, lorsque, primitivement rangées dans l'ordre normal, elles subiront la permutation S/. Ainsi S© représentera à la fois l'ordre normal, et la permutation identique, celle qui n'altère pas l'ordre des cartes. Cela posé, deux permutations consécutives S/ et Sy équivaudront à une permutation unique Syj-, et c'est ce que j'exprimerai par la relation

(l) S.SyrzrrSA..

Un ensemble de permutations forme un groupe quand le produit de deux permutations quelconques de l'ensemble appartient à Tensemble.

Soient donc

les diverses permutations d'un groupe G et les ordres correspondants des cartes. Supposons que nous sachions que Tordre du jeu appartient à ce groupe, et que les diverses permutations du groupe aient pour probabilités respectives

Poj pu .. ., Pr, de telle sorte que

Nous pouvons représenter sjanboliquement celte loi de probabilité par un nombre complexe. On sait que Ton a inauguré des nombres complexes de la forme

oii les X sont des quantités ordinaires et les e des unités complexes. Les opérations sur ces nombres complexes se tbnt d'après les règles ordinaires du calcul, avec cette différence que la multiplication, qui reste distributive et associative, peut ne pas être commutative. On définit un système de nombres complexes, en se dpnnant la règle de multiplication, c'est-à-dire en définissant le produit CiSj de deux unités complexes quelconques.

Nous allons définir un système de nombres complexes correspondant à notre groupe G; à chacune des permutations S/ de ce groupe, nous ferons correspondre une unité complexée,; et si Ton a l'équation (i) S,Sy :^ Sa, nous con-

QUESTIONS DIVERSES. 3o3

viendrons que le produit eiCj est égal à e^. Cette règle est admissible, puisqu'elle est associative.

Nous pourrons alors représenter symboliquement la loi de probabilité envisagée par le nombre complexe

P =/?(> eo -H ^1 e, 4- . . . H- /?,.^^.