Le joueur qui bat les cartes a des habitudes, de sorte

qu'à chaque coup, il y a une probabilité pi pour qu'il fasse

subir aux cartes la permutation S/. Cette loi de probabilité, qui nous est d'ailleurs inconnue, est représentée symboliquement par le nombre P = ^PiCi, Si l'on est parti de l'ordre normal, la probabilité pour qu'après un coup on ait l'ordre S/ sera/?,, de sorte que la loi de probabilité des différents ordres sera encore représentée symboliquement par P. Si au lieu de partir de l'ordre normal S© nous étions partis d'un ordre quelconque Sy, la loi de probabilité aurait été représentée par eyP. Si avant le coup la loi de probabilité était représentée par ie nombre complexe Q, elle le sera après le coup par QP. Si donc nous partons de l'ordre normal et que nous battions n coups, la loi de probabilité sera représentée finalement parle nombre complexe P".

Ce que nous voulons démontrer c'est que, si /* est très grand, on aura sensiblement

c'est-à-dire que tous les ordres possibles seront également probables. Et ce résultat sera indépendant de P, c'est-à-dire de la loi inconnue de probabilité, des habitudes inconnues du joueur.

2^7. M. Cartan a introduit dans la théorie des nomb»-es

3o4 CHAPITRE XVI.

complexes la notion de l'équation caractéristique. Soient A un nombre complexe donné, X un nombre complexe inconnu, co un nombre ordinaire inconnu; considérons l'équation

(2) AX = wX.

Les deux membres "sont des nombres complexes, et en égalant les coefficients de eo,e,, ...,e^, on aura / -f- 1 équations entre les /• 4- i coefficients Xj du nombre complexe inconnu X; ces équations sont linéaires d'une part par rapport aux j?/, et d'autre part par rapport à w el aux r -h i coefficients «r, du nombre A. Nous avons donc / -+- 1 équations linéaires par rapport aux r -h i inconnues xi. Écrivons que le déterminant A de ces équations est nul; nous aurons une équation algébrique d'ordre /• -h i qui déterminera co. D'après le théorème des substitutions linéaires, à chaque racine simple de celle équation A zr^ o, correspondra un nombre complexe X satisfaisant à (2). A une racine double correspondront deux nombres complexes X et Xi, tels que

{2 bis) AX==wX, AXt= wXiH- £iX.

A une racine triple, trois nombres X, Xi, Xj, tels que

{2ter) AX^oiX, AXi=ra)Xi-{-£iX, AXa^^Xj-h s^X,,

et ainsi de suite ; les £ sont des nombres constants ordinaires qu'on peut supposer égaux à o ou à i. Remarquons que, si £i=: £2=0, on aura

\{i\-hhx,-hi,x;) — (^0.\-i-'k,x,-^i^\^)

quelles que soient les constantes X, X,, Xj (qui sont, bien entendu, des nombres ordinaires).

Dans le cas des nombres complexes dérivés des groupes,

QUESTIONS DIVERSES. 3o5

il y a quelques simplifications. Soit X un nombre complexe quelconque et posons

e,\^Yr:=zlyjej;

on voit tout de suite que les/ ne sont autre chose que lcs.r rangés dans un ordre différent. Il en est de même si l'on pose Xe/ = Y; on a d'ailleurs

de sorte que l'équation (2) peut s'écrire

(A — (^eQ)X — o.

228. Je forme l'équation caractéristique du nombre P PX==:a)X

et je me propose de montrer d'abord qu'elle a une racine

égalé à I, et toutes les autres plus petites que i en valeur

absolue.

Soit en effet

PX = 2/,e,;

on aura

^ yi—^Pk^h,

les indices «, k ei h étant liés par la relation ei-eu — ei, de sorte que, si j'écris

yiz^^pn.iXu,

les phi ne seront autre chose que les pn dans un autre ordre. L'équation (2) nous donnera alors

(3) I*Ph.iXh=^Xi'

Nous pourrons satisfaire à ces équations (3) en prenant P. "^^

3o6 CHAPITRE XVI.

lous les Xi égaux entre eux, d'où nous déduirons

Mais

d'où 0)=: I ; ce qui montre d'abord qu'il y a une racine égale à I.

En ce qui concerne les autres racines, les équations (3) nous donneront

(4) ^\ph.iXh%\iiiXi\

ou, puisque tous les p sont réels et positifs.

Ajoutons toutes ces inégalités; il viendra

^i^hPh.i\Xh\l\^\^\0Ci\,

Mais

^iPhj^^' Donc

d'où »

d'où

Ainsi a'ucune racine ne peut être plus grande que i eu valeur absolue.

229. Soit (a) une racine différente de i ; considérons un nombre complexe appartenant à celle racine w, c'est-à-dire, d'après la phraséologie adoptée par M. Cartan, un des

QUESTIONS DIVERSES. 3o7

nombres X, Xi, ..., tels que

/ PX = wX, PX,==wX,-f-£,X, je dis que, pour tous ces nombres complexes,

'^Xir=z O.

En effet, remplaçons dans tous nos nombres complexes toutes les unités complexes e, par l'unité ordinaire; les égalités qui peuvent exister entre ces nombres complexes subsisteront» Si Ton a

P = 2/?,e/, X = 2;r/e^-, Xi = 2^Je/,

ces nombres complexes après la substitution deviendront respectivement

et nos égalités deviendront

et par conséquent, si w n'est pas égal à i, 2^^—= G, ^x]z=zo,

230. Nous avons dit qu'il y a une racine égale à i ; il reste à savoir s'il ne peut pas y avoir plusieurs racines dont le module soit égal à i , ou encore si i n'est pas racine multiple. Pour que l'inégalité (4) se réduise à une égalité, il faut que tous les Xi aient même module, et, comme ces xi ne sont déterminés que par leurs rapports, nous pouvons supposer qu'ils sont tous réels et positifs. Comme lesy^ sont tous réels et posilifs, il en sera de même de &3, c'est-à-dire que nous aurons

Soit alors xj le plus grand de tous les ^,; nous aurons

cette inégalité ne pouvant se réduire à une égalité que si tous les phj sont nuls, sauf ceux qui multiplient un x^ égal à Xj, Mais l'équation (3) nous donne

^Ph.j^h—^Xj—Xj, •

Nous devons donc conclure que

Ph.j—o si jc/,<jry,

ce qui nous montre déjà que, si aucun des pi et par conséquent aucun des pnj n'est nul, tous les Xi seront égaux.

Nous dirons que la permutation S, appartient à la catégorie C, si Xi est égal à xjy c'est-à-dire au plus grand des x.

Je dirai d'autre part que la substitution Sa appartient à l'ensemble E si, toutes les fois que Sy appartient à la catégorie C, il en est de même de

S;,=rSÂ^Sy.

La condition nécessaire pour que p/^^^puj puisse ne pas être nul, c'est alors qqe S/, appartienne à l'ensemble E.

Je dis maintenant que l'ensemble E constitue un sousgroupe de G. Si en effet S^- et S^ appartiennent à cet ensemble, cela veut dire que Sy ne peut appartenir à C, sans qu'il en soit de môme de S/,~*Sy et de Sg-^Sy. Mais alors il devra en être de même de

S/7US;^Sy)=:(SeS/,)-^Sy,

ce qui veut dire que S^Sa: appartiendra aussi à C.

Donc la circonstance qui nous occupe ne pourra se préenter que si tous les p^ sont nuls, sauf ceux qui corres-

QUESTIONS DIVEBSES, Sog

pondent aux permutations d'un certain sous-groupe, c'està-dire si l'on sait d'avance que le joueur en battant les cartes n'exécutera jamais que des permutations appartenant à ce sous-groupe.

Si on laisse décote ce cas d'exception unique, l'équation