PX = X
ne peut être satisfaite que si tous les Xi sont égaux entre eux.
231. Une possibilité subsisterait encore ; on pourrait supposer qu'il existe un nombre complexe X, tel que
(5) PX,= X,-4-£iX, £,>0,
X = eo -h ^1 -i- . . . -h e,.
et que la racine i est multiple. Mais de l'équation (i) on déduit
P«Xi=:Xi+/i£,X.
Les coefficients de Xj et de £iX ne dépendent pas de n; ceux de P" dépendent de /i, mais ils restent réels et positifs, et leur somme demeure égale à i; puisque P'* représente symboliquement la loi des,probabilités après n coups.
Les coefficients de P"X restent donc limités. Au contraire, ceux de Xi-f- /2£'iX sont des polynômes du i'^'" degré en n; ils ne peuvent donc être limités; l'équation (5) est donc impossible.
Si nous reprenons l'équation de la forme
PX=:wX,
nous avons vu que w est donné par une équation d'ordre ,• ^ I ; et qu'à une racine d'ordre de multiplicité \iy appar-
3lO CHAPITRE. XVI.
tiennent /jl nombres complexes distincts. La somme des ordres de multiplicité étant r-j-i, il y aura rn-i nombres complexes appartenant aux diverses racines, et ils seront linéairement indépendants. Un nombre complexe quelconque peut donc être considéré comme une combinaison linéaire de ceux qui appartiennent aux diverses racines.
Dans le cas qui nous occupe, un seul nombre appartient à la racine i, c'est
tous les autres appartiennent à des racines <i en valeur absolue, et la somme des coefficients de chacun de ces nombres complexes est nulle. Il résulte de là que .^om^ nombre complexe y tel que la somme de ses coefficients soit nulle^ peut être regardé comme une combinaison linéaire des nombres complexes qui appartiennent aux racines -< i en valeur absolue»
232. Considérons maintenant une racine w telle que' I « I < i; nous aurons, si cette racine est multiple,
PX = a>X, PX,-a)X,-t-g,X, PX,=r wX^-f- s^X,, ..:,
et nous en déduirons aisément
P^Xmw^X, P»X, = M»Xt-H/iw«-«é,X,
Comme w'*, «w«~*, — ^ — ^^^— ^ &)"~*,... tendent vers zéro quand
n croît indéfiniment, on voit que, pour un nombre complexe X quelconque appartenant à une racine <i- en valeur absolue, on a
limP»X = o (« = 00).
Maistoul nombre complexe est une combinaison de ceux qui appartiennent aux racines < i, pourvu que la somme de ses coefficients soit égale à zéro.
On aura donc encore
IimP«X = o
toutes les fois que la somme des coefficients de X sera nulle.
Si au contraire X appartient à la racine t, c*est-à-dire si tous ses coefficients sont égaux entre eux, on aura
Si X est un nombre complexe quelconque, nous pourrons poser
Xrr:SXo-+-X^
où S est la soiïime des coefficients de X, où
Xc = -4-7 ( «0 + ^1 -H . . . -^ ^r )
et où la somme des coefficients de X' est nulle. On aura
alors
limP'^X^i^SXo.
Remarquons mainlenanl que
XoX =:: XXo =^ S Atf.
On aura en effet
OÙ l'on a posé ockj^=^ Xi en admetlanl cjCi =: e/^. ou bien
Mais les x^.j qui figurent sous le signe Ij sont, dans un ordre différent, les jt, eux-mêmes, c'est-à-dire que
d'où finalement
et
lim(P»~Xo)X =0.
Mais X est un nombre complexe quelconque; nous pouvons donc prendre X — eo, d'où
(P"-Xo)Xr=(P«Xo)eo=:P"-Xo.
Il reste donc
limP«=:Xo*
ce qui veut dire qu'à la limite, toutes les probabilités, c'està-dire tous les coefficients du nombre complexe P" qui représente symboliquement la loi de probabilité, sont égaux. C'est ce que nous nous étions proposé de démontrer.
Je renverrai à quelques-uns des ouvrages où il est traité des nombres complexes et de leurs rapports avec les groupes. Je citerai en première ligne les travaux de M. Frobenius publiés dans les Sitziingsberichle de l'Académie de lierlin de 1896 à 1901, et ensuite un mémoire de M. Carlan Siw les groupes hillnéaires et les systèmes de nombres complexes {Annales de la Faculté de Toulouse^ t. XIÏ). Je me suis moimême occupé de la question, et je me suis en particulier efforcé de rapprocher les résultats présentés par ces deux
QUESTIONS DIVERSES. 3l3
savants éminenls sous des formes 1res différentes à l'occasion d'une étude Sur l'intégration algébrique des équations linéaires, insérée dans le Journal de Liouville, 5® série, t. IX.
233. Répartition des décimales dans une table numérique. — Supposons qu'on prenne dans une table de logarithmes un grand nombre de logarithmes consécutifs et que l'on considère lalroisième décimale par exemple. On verraque les dix chiffres o, i, 2, 3,..., 9 sont également répartis sur cette liste; et par conséquent la probabilité pour que cette troisième décimale soit paire est égale à - • Un instinct invincible porto à le penser, et d'ailleurs on peut le vérifier a posteriori. Y-a-t-il moyen de rendre compte de ce fait?
Envisageons les nombres
log(
où nous donnerons à a? toutes les valeurs entières depuis i jusqu'à looooo. Considérons la fonction
FTlogfn-— ^— )]
F (y) étant une fonction qui est égale à 4- i, si la troisième décimale dey est paire, et à ~i, si cette décimale estimpaire. Je me propose de démontrer que la valeur moyenne de F (y) est nulle ou très petite.
D'après la définition de F (y), on a
ce qui montre que F (y) est une fonction périodique de
période
5oo'
il en
esl de luêine de sin(iooo7:;K)
fonction que nous envisagerons d'abord. Nous devons donc évaluer la somme
S= -Vsin iooo7rlog(i-i )
lOOOO-^i^ L \ looooo/ J
Remplaçons-la par l'intégrale.
J— / sln iooot: log ( I -h — - — M ^^.
joooo Jj L \ 100000/ J
Évaluons d'abord la différence S — J; nous nous appuierons sur la formule de ïaylor
9(/i-t-A)=:9(/i)4- A9'(/i)-h — ©"(/iH-^A) (o<9<i)
d'où
où 0' esl compris entre — i et 4- 1, où M est le maximum de I o" {x)\ dans l'intervalle considéré. Si nous prenons
9(0.) = sin [looor log (.+ ^^)],
et que nous fassions n^= i, 2, ..., 10000 et que nous ajoutions; il viendra
J— s = — ^^ — le'M.
Qu*esl-ce que M? Posons pour abréger
lOOOTT
log{ I -1 — ) = r;
looopo ii viendra
cp' (r) =mooo7: cosr,
©"(^)= — (iooott)'-- -, iSinr
' ^ ' ^ (looooo)* (14-^)* *^
I I — iooottt -, ; ^cosr,
(lOOOOO)- (14-5)* ^
d'où
d'où
vû/ià* ^ 10000
IQ'M < r= 10,
lOOO
Évaluons maintenant la limite supérieure de J. Posons a;
d'où
Jr=ioi s\n(xu dz=z 10 I sinxue'* du.
L'intégration par parties me donne
J cosa//tf" /*"*cosa« ,
— = — h / r- e" (lu,
IjL e"o4-g"' r"'e''du ac". I 10 ^ « "^/ ~^ "^ T"'
Or
f - lOOOO
3l6 CHAPITRE XVI.
Donc
|J|<-^^<— , ' ' ioot: ioo
ou, en comparant avec la limite | J — S |,
'ioo
234. La démonstration a été donnée sur un exemple très particulier, mais il est aisé d'en apercevoir le véritable sens et par conséquent la portée générale.
On s'est appuyé en réalité sur trois faits :
i°Les dérivées successives du logarithme restent finies (Fans l'intervalle considéré;
2« Le nombre a == loooTiest très grand;
3° Bien que grand d'une manière absolue, il est très petit par rapport au nombre looooo qui figure au dénominateur dans l'expression
log(^i4--
ooooo
On voit que ces mêmes circonstances se reproduiront dans un grand nombre de cas analogues, et que les mêmes raisonnements seront applicables à toutes les fonctions continues. Soit plus généralement à évaluer la somme
oii« est un très grand nombre, F une fonction périodique limitée; (3 un nombre très petit et tel que a(3 soit lui-même très petit, et où l'on donne à x toutes les valeurs entières depuis I jusqu'à^' Nous comparerons cette somme à l'intégrale
F[ao(^)]<:/5.
QUESTIONS Ol VERSES. 3l7
II viendra comme plus haut
M étant le maximum de la dérivée seconde de F[a9((3^)] par rapport à ^; or cette dérivée seconde est égale à
les lettres accentuées désignant les dérivées de F et <p par rapport à leurs arguments respectifs acp et (3^7. On voit que, si ces dérivées sont limitées, J — S est de l'ordre de («(3)'. Soit maintenant O (m) la fonction primitive de F (u) de telle sorte que
l'intégration par parties nous donnera
ce qui montre que J est de l'ordre - • 11 suffit donc, pour que
notre raisonnement soit applicable, ue - et (a|3)' soient très petits.
235. Deux difficultés subsistent encore cependant. Le résultat n'est-t-il pas vrai alors même que «(3 n'est pas très petit,
pourvu que (3 et— le soient. Supposons qu'au lieu de raisonner sur la troisième décimale d'une table à 5 décimales, nous ayons raisonné sur la cinquième, au lieu de prendre
a^riOOOTT, (^ = -
