EM

Nous avons passé d'une expression à l'autre en multipliant par « les termes successifs ; en différenciant p*-q m - ■ par rapport à p, nous aurions eu *p a l y 1 " - "; la valeur probable de Mtt est donc :

prfF dp'

Les nombres p et y ne sont pas indépendants, puisque leur somme est 1. On a fait la différentiation comme s'ils l'étaient, on a différent ié par rapport à p comme si q était constant. De plus, M peut dépendre dep : h dépend de p. j'éviterai celte confusion de la manière suivante : A la place de p et y j'introduis deux variables auxiliaires, ce et y, et je considère

SM , m ' : oPy'"-*,

que j'appelle F {x, y). Si M dépend dep, je n'y remplace pas p et y par x et y ; la valeur probable de M est bien alors F(p,y),et

2Ma- j ■ - — ï*V"~

est bien x -rdx

On y remplacera x et y par p et y après la différentiation.

T. Appliquons ce qui précède au problème qui nous occupe.

Soit d'abord M = 1.

si je bis ensuite :

il vient :

F if, ,) = ir + ?)- = i,

et en effet la valeur probable de t est 1.

Pour avoir la valeur probable de <x, je différence F (x, y\ par rapport à ce, et je multiplie par as, ce qui me donne mx{x-\~y) m -* ; puis je fais x = p, y = q. La valeur probable de * est mp.

Pour avoir la valeur probable de a 1 , je différentie le terme mx (x -\- y)""-' par rapport à x, puis je multiplie par x; ce qui me donne d'abord

m {a' + y)™"' + »» (m — 1} x {x + y)" 1 " 1 puis:

En faisant œ =: p et y = q, j'obtiens pour la valeur probable de s 1 :

mp 4- m i p t — mp 1 .

Cherchons maintenant les valeurs probables de A et A 1 . La valeur probable de h sera la valeur probable de a, moins la valeur probable de mp, c'est-à-dire

mp — mp = o.

3igiteedby G00gle

La valeur probable de l'écart est donc nulle. La valeur de A 1 est :

h 1 = i* — tmpx -\- m'p* ;

sa valeur probable est donc :

(mp -j- m'p* — m P t ) — 'imp.mp -\- m*p % , ou :

. mp(i - p), c'est-à-dire mj.q.

La valeur probable du carré de h est mpq.

On vérifiera en passant qu'elle est effectivement plus grande que le carré de la valeur probable de h, qui est nulle.

8. Passons à la valeur probable du module de h ; cherchons d'abord quelle serait l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme 1 si l'écart était positif, elO s'il était négatif ?

2« a doit se borner aux termes dont l'écart est positif. Soit us le dernier terme de ïw, pour lequel l'écart est positif; on a:

P > mp, et p — 1 < mp,

et l'espérance mathématique de ce joueur serait :

c'est-à-dire F (p, q) en posant :

F (*, y) = af« + Ça^-'y + a. "*' «3y-

Si l'on supposait maintenant qu'on ail promis à ce joueur

dF une somme a, son espérance mathématique sera x —> en

faisant as = p, y = q après la dîfférenliation. Enfin, la valeur probable d'une fonction qui est égale à A pour A > o el à o pour A < o sera donc l'espérance mathématique de ce joueur à qui l'on promet a — mp quand x > mp; c'est donc :

x~- mpV.

F est un polynôme homogène et de degré m t donc :

L'espérance mathématique ci-dessus devient :

rfF dF dF

rfF

= p, y = q, après diiTérentiation. On a d'abord :

/dF rfF' d'autre part :

r «Ji»-«!'

11 entre un terme de plus dans la somme qui représente

rfF . . . , rfF dF .,

-r- , ce dernier terme représente ^ -r-> et il est <

pr-

êt après qu'on y a fait » =p, y = J, il devient :

Pour l'espérance mathématique de notre joueur, nous avons donc :

On y reconnaît le produit par p</, du terme up, le dernier qui corresponde à un écart positif.

9. On promet à un joueur une somme égale à la valeur absolue de l'écart : soit E son espérance mathématique, en admettant qu'il ne doive être payé que si l'écart est positif, E' en admettant qu'il ne doive être payé que s'il est négatif.

La valeur probable de A est E — E'.

La valeur probable du module de A est E + E'.

Comme la valeur probable de A est nulle :

et la valeur probable de ] A j est 2E.

10. Ainsi la valeur probable de l'écart A considéré en valeur relative est zéro ; la valeur probable de A* est mpq ; celle de | A j est 2E ou

*P n..Tli.. pV-p-

8 correspond au dernier terme pour lequel l'écart est positif, et il diffère peu de mp.

A cette expression on peut substituer la valeur approchée

Ce terme est beaucoup plus grand que tous les autres, mais il est très petit.

La valeur probable de | h j est beaucoup plus petite que mpq. Suivant une remarque déjà faite, le carré de la valeur probable de ] h | est plus petit que la valeur probable de A* : donc la valeur probable de | A | est certainement plus pelite que \mpq.

1. Je vais montrer comment on peut connaître une valeur approchée de «„, du terme maximum, de la valeur probable de | h | , etc.

Le calcul de ces valeurs approchées se rattache à la formule de Stirliog.

On a :

m! = / x ,, e-"dx = T (»-f- I),

c'est-à-dire la fonction eulérienne; cetle intégrale

un sens quand n est positif, mais non entier. Si l'on pose

le rapport du premier membre au second tend vers l'unité quand n augmente indéfiniment.

Je ne donnerai pas la démonstration générale, mais seulement pour n entier.

La formule de Slirling sert à calculer la factorîelle d'un nombre entier

»! = n"e~" ^i-nn.

c'est une formule atymplolique. L'erreur absolue que l'on commet en prenant le second membre comme valeur du pre-

mier augmente indéfiniment avec n, mais l'erreur relative tend vers zéro,

Il en résulte que l'erreur absolue sur le logarithme de »! tend vers zéro.

Je puis d'abord écrire :

»! = «•.-. yfi F (»)

et je vais démontrer que F (n) tend vers une limite finie et déterminée C quand « augmente indéfiniment; de telle sorte que l'on aura alors :

»!=C»-.-vS.