Supposons maintenant que l'on ait

La probabilité pour que z soit compris entre * et z -f- dx est celle pour que le point y \

(x, y) soit compris entre deux droites parallèles infiniment voisines ; la probabilité cherchée sera celle qui est relative à cette aire infiniment petite.

Je vais décomposer cette

aire infiniment petite en élé-

Fio. 1.

mente.

Pour cela je partage l'axe des a: en une infinité d'éléments, et par les points de division je mène des parallèles a l'axe des y ; j'obtiens ainsi une infinité de petits parallélogrammes : quelle est l'aire de l'un d'eux, ABCD ? Les points A et B sont sur la droite

les coordonnées de A sont x et x — x, celles de B, x + dx et * — x — dx.

Les points C et D sont sur la droite :

x + y = * + dz;

lea coordonnées de D sont m et z -f- dx — x ; celles de C te -f- dx, et x -\- dx — m — dm.

L'aire du parallélogramme est dxdx.

■L'intégrale double sera la somme des éléments relatifs a chaque parallélogramme :

Dans une première intégration :

y et x doivent être regardées comme constantes et x varie ie — oo & •{■ co .

L'intégrale est donc :

hh' >+oo P = k'x* + h" [x — s)'

c'est-à-dire :

P = (ft* + A'») x 1 — ih' a xx + A' 1 * 1 ,

en posant :

a = VÂ r +T r ,

Nous avons à évaluer :

SEPTIEME LEÇON ou :

Posons :

ax — b = S;

cette intégrale est :

et comme x ou ? varie de — oo a -|- » ,

La probabilité cherchée, pour que s soit compris entra t

et a {c's, est donc:

, hk' e- c dz

On a d'autre part :

c - A * A*-)- A'* — A»-f-A' ï ' La probabilité en question est donc :

. AA' g : W+"

rfî — :■

La loi de probabilité est normale.

La valeur probable de ** ou de (a;-}- y) a sera :

82 CALCUL DBS PROBABILITES

c'est-à-dire que la valeur probable de (x -f- y) 1 est la somme

de la valeur probable de se* et de la valeur probable de y*.

La valeur probable de txy est en effet nulle ici, et nous nous ne l'aurions pas su a priori, si la loi de probabilité n'avait pas été normale.

Cette élégante démonstration est due à M. d'Ocagne.

4. Problème des épreuves répétées. — Deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective p et q. Ainsi une urne contient ? boules blanches et v boules noires,

on en tire un très grand nombre de boules m, en remettant chaque fois la boule sortie dans l'urne. Si l'on a tiré s boules blanches, il y a beaucoup de chances, d'après le théorème de Bernouilli, que — diffère peu de l'unité. ' ^ mp r

La valeur probable de X 3 sera égale à pq.

Changeons un peu les conditions, de manière que le hisard ne préside plus seul à la distribution des coups. Considérons deux urnes, la première renfermant p. boules blanches et v noires, la seconde u' blanches et v' noires, et convenons de tirer alternative ment dans Tune et dans l'autre.

Après un très grand nombre, m, de tirages, a blanches

le p qui est

sont sorties et m

— a noires. — sera très

ici égal à :

Mais la loi des écarts sera-t-elle la même ? Il ne peut en être ainsi.

Supposons que la première urne ne renferme que des

blanches, la seconde que des noires : nous aurons tiré -blanches et ■% -noires. — sera égal à -i et l'écart sera nul, p étant aussi -La valeur probable de À 1 sera zéro; elle devrait être égale à ~ • car :

La loi des écarts n'est donc pas la même.

5. Je veux montrer que. si une autre cause que le hasard intervient, l'écart probable (ou la valeur probable de \') sera plus petit que si le hasard seul avait agi.

Les m épreuves forment deux catégories, l'une de pm, l'autre de p'*n épreuves, et l'on a :

Supposons que les événements A et B aient respectivement, pour probabilités, p et q dans la première catégorie, p et q' dans la seconde.

L'événement A se présente « fois dans la première, et' fois dans la seconde ; 8 se présente $m — « et fi'm — a' fois.

Le nombre total des épreuves favorables à A sera a -f- a.' ;

teront très peu de l'unité; x -\- -s. sera très voisin de {Jmn 4* $'mp'. c'est-à-dire que l'écart sera de l'ordre de

grandeur de \ ! m, de sorte que la répétition des événements sera à peu près la même que dans une seule série d'épreuves, où les probabilités de A et de B seraient respectivement :

P/> +■ IV et P? + PV- Cherchons la loi des écarts. Je vais poser :

a = $mp -f- X v'P"i a,' = fi'mp' -\- \'\'$'m.

Pour l'épreuve totale, ce serait :

a + a' = m (?p + fp) + V \/m,

pP 4" 9'P étant la probabilité de A. dans l'ensemble des épreuves.

Il s'agit de calculer la valeur de X"*. D'une façon générale, elle est égale à pq. Si le hasard agissait seul, ce serait ici:

(Pp + PV) (fr + PV).

Cherchons sa véritable valeur :

Y \fm = X v'pm-f- ^' v'^iJi", ou :

X" s= x v'p-f- l'Vp-

Les deux événements sont indépendants : la probabilité pour que X soit compris entre deux limites données est indépendante de la probabilité pour que X' soit compris entre deux limites données. Les lois de probabilités de X y'p et X' v'p' seront normales, el la loi de probabilité de leur somme X vp + X' vP' sera aussi normale.

La valeur probable de X* 1 , (X" 1 ), sera :

(X"») = p (x*) + p' (X*) = pp? + P'pV-

Telle sera la véritable expression de la valeur probable du carré de l'écart.

Comparons les deux valeurs ; la différence est :

(pp + p'p') (pff + W) - (pp? + pp'?'),

ou, en rappelant que S + S' = 1 ,

(pp + m (p? + pv ) - tpw h- p'p's'j (p + p'),

c'est-à-dire :

PP' (p?' + P'ï — P<7 — P'ï ) ou :