Donnons encore un exemple

Considérons un grand nombre de planètes, dont les orbites soient sensiblement circulaires. Soient a le moyen mouvement de l'une de ces planètes, b sa longitude à un instant donné pris comme origine. Sa longitude / au temps t sera :

l-—Ot-\-f>.

La probabilité pour que a et b satisfassent a certaines conditions est

fi («,») «

Je dis qu'au bout d'un temps très long les planètes seront également distribuées dans tous les signes du zodiaque.

La probabilité pour que / soit comprise entre des limites données sera donc indépendante de :p.

Cherchons la valeur probable d'une fonction e'"" : si m est différent de 0, la valeur probable tendra vers quand l augmentera indéfiniment. Cette valeur probable est représentée

CALCUL nB« PROBABILITÉS. S

par

J J e im w + t) f ( a ,b)dadb.

Intégrons par parties.

J imt T J J tmt da

Si nous supposons seulement <f continue, les deux termes ci dessus tendront vers zéro. •

Je demande la valeur probable d'une fonction périodique quelconque, f[l). La formule de Fouriernous donne :

Chacun des termes de cette série aura pour valeur probable 0, sauf le terme constant A„. La valeur probable de/"(/j sera donc :

Supposons que l'on ait :

</(,</, < 2u; la probabilité pour que / soit compris entre / et /, est :

C'est la valeur probable d'une fonction /"(/) égale à 1 ai t est compris entre l et /, et à dans le cas contraire.

Si t est quelconque, quel que soit ip, la probabilité sera sensiblement proportionnelle à l,-l a ; la distribution des planètes sera uniforme

1. Nous allons aborder les problèmes connus sous le nom de probabilités des causes.

Les problèmes que nous avons traités rentraient dans l'énoncé suivant: étant donné que telle cause est mise en jeu, quelle est la probabilité que tel effet en résultera.

Les problèmes inverses sont : élant donné que tel effet s'est produit, quelle est la probabilité que telle cause a été mise en jeu.

Le type de ces problèmes est celui de deux urnes dont la première contient beaucoup plus de boules blanches que l'autre : on a tiré une boule blanche, mais on ne sait pas de quelle urne ; il y a plus de raisons de croire la boule sortie de la première urne que de la seconde.

Pour donner une définition, il faut faire une espèce de convention, comme au début de toute question de probabilité.

Quand on compare le nombre des cas possibles au nombre des cas favorables, l'on doit avoir soin que lous les cas soient également probables, La convention qui repose sur des cas regardés comme également probables contiendra toujours un très large degré d'arbitraire.

D'un jeu de 32 cartes, on tire une carte : on sait que c'est nne figure ; quelle est la probabilité que l'on a tiré un roi ?

Avant l'événement, la probabilité était le rapport du nombre des roi» au nombre total des cas possibles, soit —

Après l'événement, le nombre des cas favorables est toujours 4; le nombre des cas possibles est diminué, c'est celui

des figures, soit 12. La probabilité est devenue —ou - ; elle a augmenté.

2. Formule de Bayes. — « causes différentes peuvent être mises en jeu, C,, C„ ... C„; la probabilité pour que la cause Ci, si elle est mise en jeu, produise l'événement A est p,-.

Si nous savions que C, est en jeu, nous pourrions affirmer que la probabilité de A est p,.

Il faut supposer que deux causes ne peuvent être mises en jeu simultanément.

Avant l'événement, chacune de ces causes avait une probabilité a priori que je suppose donnée : la probabilité que la cause Ci soit mise en jeu était «,.

L'événement A a eu lieu : quelle est la probabilité que ce soit la cause C, qui l'ait produit ?

Énumérons les cas possibles et les cas favorables, et, pour fixer les idées, considérons un exemple particulier.

M urnes contiennent chacune Q boules ; il y a MQ boules, soit MQ cas possibles, que je suppose également probables.

Les urnes sont réparties en catégories C,, C,..., C„.

Les urnes de la catégorie C, seront au nombre de o,M ; de la catégorie C a , au nombre de n a M; ... de la catégorie C„, au nombre de G7„M.

La probabilité pour que la cause C soit en jeu sera;

Dans les urnes, les boules sont noires ou blanches. L'événement A est, par exemple, la sortie d'une boule blanche. La probabilité pour tirer une boule blanche de la première catégorie sera p, .

Dans la catégorie C,, il y aura p,Q boules blanches ; dans la catégorie C,, il y en aurap,Q;... dans la catégorie C, il y en aura p a Q-

On a tiré une boule blanche : on demande la probabilité pour que l'urne qu'on a choisie appartienne à la catégorie Cf.

Le nombre des cas favorables est le nombre des boules blanches de la catégorie C,, soit w ( p,MQ.

Le nombre total des cas possibles est celui des boules blanches :

ct,P,MQ + ra,p,MQ + ... + a B ,D„MQ

Le rapport de ces deux nombres est, par définition, la probabilité cherchée :

OiPl

n,P, + ra,p a -f... -f-o™p fl