On peut dire encore
La probabilité que la cause C t ait été mise en jeu, puis que, mise en jeu, elle ait produit l'événement A, est une probabilité composée.
D'abord la cause C, doit être en jeu, et sa probabilité a priori est tsi ', ensuite, mise en jeu, elle donne à A la probabilité pi. La probabilité composée est xsipi.
Mais la question se pose autrement,
11 faut que l'événement se soit produit, et ensuite qu'il doive être attribué à la cause C(. C'est encore une probabilité composée.
La probabilité pour qu'il se produise est :
la probabilité («' Von sait qu'il s'est produit) pour qu'il soit dû à la cause C ( étant x, la probabilité composée pour que l'événement se soit produit et soit dû à la cause Ci sera donc
ce (w,p, + o,p, + ... -}- o n p»)
BiPi
gt.P. + u»,p, + ... + a„p„
4. A l'écarté, votre adversaire donne et tourne le roi ; quelle est la probabilité que ce soit un grec?
Soient gt, la probabilité pour qu'il ne soit pas grec; a t , pour qu'il le soit. Dans le premier cas, la probabilité pour
qu'il tourne le roi esl^; dans le second, elle est 1. La probabilité a posteriori qu'on a affaire à un grec est :
Si l'on suppose a a = n,, dans l'ignorance où l'on est de
l'honnêteté de son adversaire, cette probabilité est de =■ Elle serait donc énorme.
Fort heureusement il est permis en général de supposer a
ONZIÈME LBÇON 135
priori :
Wj < Gf ( .
5- Dans une urne, dont la composition est inconnue, il y a N boules; nous effectuons y. tirages, en remettant chaque fois la boule tirée, et nous ne tirons que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches ?
Soit ct„ la probabilité a priori pour qu'il y ait n blanches ; et soilp„ la probabilité pour qu'on amène u. blanches.
Après les tirages, la probabilité pour que l'urne renferme n blanches est donnée par la formule, et, après la suppression du facteur («) ' commun aux deux termes de la fraction, elle est égale à :
g„nl*
* + u t & + ... -\- viN*
6. Il faut connaître a priori rj,, tr a -.. ctn, sur lesquelles on peut faire plusieurs hypothèses.
Supposons, par exemple, que toutes les compositions de l'urne sont également probables, c'est-à-dire tous les gt
positions possibles de l'urne, en y comprenant celle où il n'y a aucune boule blanche. La fraction précédente se réduit à:
1^ + 21* + ... + Ne"
CS PROBABILITÉS îu, que l'on ait placé successivel'urne, les unes blanches et les au sort chaque fois le soin de
nettra une blanche sera chaque : finalement, sur N boules, l'urne ira évaluée par la formule :
br(l)"-
ori rj„ pour qu'il y ait n blanches coefficient du binôme, et, dans té a posteriori pour qu'il y ait n 'à faire les u égaux à ces divers
NI
fférenl du précédent.
[a + 1 en N, que je puis réduire a
La probabilité dans ta première hypothèse deviendra
et, pour u = 2, par exemple, elle vaudra -^j ■
Dans la seconde hypothèse, évaluons d'abord cr,ns\ pour la mémo valeur 2 de p.
"■" =" ;ttn-»!
Evaluons ensuite le dénominateur :
ra.ll 1 -H a t & + ... -j- ra N Nt».
Pour cela considérons l'expression :
i -(- e*ra, -j- e^n, + ... -f- e"*ra N , qui n'est autre que le développement de:
Je différence deux fois par rapport à œ :
l'ifn, -f î'e^ra, -f ... + NV"ra N .
Il suffit de faire x = pour retrouver le dénominateur que nous voulons connaître quand p = 2.
Ce dénominateur est donc le double du coefficient de œ 1 dans le développement de (1 + e*) N suivant les puissances de x ; or, en nous arrêtant aux termes en x' ,
c'est-à-dire:
Le terme du degré le plus élevé en N ,à l'intérieur de la
N* parenthèse est -jr- j;*. Le dénominateur dont nous cherchons
N 1 la valeur est donc approximativement le double de 2" q->
c'est-à-dire vaut 2 N-1 N 1 .
Ainsi, dans la seconde hypothèse, la probabilité pour que
l'urne contienne n boutes blanches est:
«lie est beaucoup plus petite que dans la première hypothèse. En effet, comme on l'a vu à propos du théorème de Bernouilli,
est très petit, sauf quand «et N — «sont sensiblement égaux à p et q, c'est-à-dire ici àr m
8. Deux joueurs d'échecs ont joué n + m parties : le premier en a gagné n, le second m. Si n > m, on doit supposer le premier plus fort.
Si une nouvelle partie s'engage, le premier aura plus de chances de la gagner.
Quelqu'un de bien informé pourra se représenter par p la probabilité pour que ce joueur gagne. Mais, pour moi qui n'ai jamais vu jouer cet individu, je ne connais pas p; je vais chercher à m'en faire une idée.
La probabilité pour que p soit compris entre p„ et p, se représente par :
/""/■(Pi*.
où la fonction f{p) est inconnue.
La probabilité pour que p soit compris entre p et p -\- dp sera a priori f{p) dp; c'est elle qui correspond à a/.
A la probabilité pi correspond :
,] w! 'fV-
La cause considérée est en effet que la probabilité de gagner soit p pour le premier joueur.
La probabilité que ce premier joueur gagne n parties, p étant sa probabilité de gagner à chacune des n -j- m parties,
n+ml n M
ni mi r *
Quelle est la probabilité a posteriori que p est compris entre p et p -j- dp ?
Ici tsipi, en remplaçant 9 par 1 — p, est égal à :
p-(i~pr n -^fr(p)dp.
La somme des a^pi sera :
cette intégrale doit être prise de al, car la probabilité p est comprise certainement entre ces limites.
CALCUL DBS PROBABILITÉS fait généralement l'hypothèse
('autres renseignements.
tégrale s'évalue alors simplement :
■— f — r / p" i — p) m dp, »! ml J t
i est ramené à l'intégrale eulérienne de première
font ici des factorietles, et cette expression n'est autre
ii l'intégrale qui représentait la somme des vsi pt est ment égale à — £ — -j^-. > et la probabilité a posteriori ue p soit compris entre p et p -f- dp est :
? (?) <*? = " „rj" p* (i — p) m ^
(uelle va être la probabilité pour que ce joueur gagne :ie suivante ?
e probabilité s'obtient facilement. La probabilité pour soit compris entre p et p + dp est ? (p) dp ; la probalorsqu'il en est ainsi, de gagner la partie suivante ; joueurest p ; en vertu de la probabilité composée, la n de ces deux conditions a pour probabilité py (p) dp.
On intégrera cet élément de à 1, d'où
fpf (P) <*P- Si l'on remplace <ç fj>) par sa valeur :
C'est encore une intégrale eulérienne, et l'on arrive à :
w + m + l l n + l\ml n\m< n+w + 2!
Si j'avais appliqué le même raisonnement à un jeu de hasard, je n'aurais pas eu le droit de supposer f (p) = 1. A
priori, en effet, p devait égaler -• Donc / (p) devait être
infini pour p = g*
3igiteedby G00gle
1. Représentons par N le nombre total des petites planètes; parmi elles, un certain Dombre M sont connues. Dans une année, on en observe n parmi lesquelles m planètes connues.
On demande la valeur probable de N.
La valeur de N ne peut différer beaucoup de — » mais cette évaluation au jugé ne suffit pas : il faut s'occuper de l'écart probable entre le nombre véritable et le nombre probable.
Voici comment nous procéderons :
En premier lieu, nous supposerons connue la probabilité pour que, pendant l'année d'observation, une planète existante ait été observée, soitp cette probabilité: nous admettrons qu'elle est la même pour les planètes connues et inconnues.
Comme nous avons observé n planètes, la valeur probable de N semble au premier abord devoir être égale à -; mais U n'est pas possible que celte valeur soit tout à fait exacte : les nombres 1, 2, ..., N ont des probabilités propres que j'appelle o,, gj„ .... un, et la valeur probable de N sera :
ra, + ict, -f- ... -+- Nn«.
Si l'on suppose p donné, et tous les nombres 1, 2, .. , N
également probables, on arrivera, comme nous le montrerons,
à — 3 —1 pour la valeur probable de N.
Ce premier point résolu, nous nous poserons un autre problème ; nous avons supposé p connu, nous ne le supposerons plus, et nous déterminerons ensuite la valeur probable de N en fonction de m et M, ce qui nous donnera
un ré s haut.
2. J'appelle donc cj« la probabilité a priori pour qu'il y ait N planètes ; pu la probabilité pour que, s'il y a ainsi N planètes, on en observe n dans l'année.
La probabilité a posteriori pour qu'il y ait en tout N planètes est une probabilité de cause ; elle s'exprime par:
SgthPn
Comme première hypothèse sur les n, supposons-les tous égaux ; la formule précédente se réduit à :
Pour calculer p N , appliquons le théorème des épreuves répétées. La probabilité que, sur N planètes, on en observera n dans l'année est *
p étant la probabilité pour qu'une planète, si elle existe, soit
observée ; q la probabilité pour qu'elle ne le soit pas.
n est une valeur constante : c'est la plus petite que puisse prendre N. Faisons croître N indéfiniment :
Sp„ = p" -L. -Jp p- q + \ T ^ T / p . g i + ... Si j'introduis maintenant la relation p = i — y :
Avec l'hypothèse faite sur les n, la probabilité pour qu'il y ait N planètes est donc j>p N .
