Considérons

r"(,- «'+» . +-+*- )^) tl »„,

v -oc

Je dis que cette intégrale est nulle, c'est-à-dire que la moyenne est la valeur probable.

Je vais poser :

et:

L'exposant P peut s'écrire :

P ^ -fo (z) [(* - «,) + (« - d^) + ... + (* - m.)] dz,

c'est-à-dire :

P = - n f$(z}{z~x)dz.

Il reste donc à démontrer que l'intégrale suivante est nulle :

ff> (x ( ) ta) ... 6 [a.) (* — ») + («) «-»/+(»»'-*»''' <f*.

Si nous posons :

JV — «) f(j] <fc = M",

d'où :

(z — «) + (j) rfs = 4m du,

l'intégrale envisagée se réduit à :

26 j*,] H (*,)... {x„)fue-"»' du.

Elle est nulle quand u varie de — ce à -|- oe,

10. La fonction f dépend ainsi de ^, et ty dépend de la connaissance que nous pouvons avoir a priori de la probabilité relative à z.

f dépend de l'habileté de l'observateur et de la probabilité a priori pour qu'il se trompe.

Il n'y a aucune raison pour que ces deux probabilités a priori dépendent l'une de l'autre. La seule hypothèse raisonnable est donc de supposer d* = 1 pour retrouver la loi de Gauss.