Reste b(œ

Rien n'oblige à supposer cette fonction égale à i. On sait, par exemple, que certaines observations, telles que les observations méridiennes, sont sujettes à une cause d'erreur particulière que l'on a appelée l'erreur décimale.

Quand on mesure une quantité, quand on effectue une lecture, on évalue le résultat jusqu'à un certain ordre d'unités, et le nombre qu'on donne est celui qui se rapproche le plus, dans cet ordre, de la grandeur qu'on veut connaître.

Or, on a remarqué que chaque observateur semble affectionner certaines décimales ; on exprimera analytiquement ce fait en disant que 6 fa:,) est périodique, et qu'elle devient maximum pour ces décimales.

12. Quelle opinion faut-il avoir de ce postulat de Gauss? Dire qu'il est admis par tout le monde, ce n'est pas le justi-

fier, car tout le monde n'a peut-être pas une connaissance suffisante de ce qu'est une loi des erreurs.

Si nous avions appliqué les mêmes raisonnements à z',

la valeur adoptée pour s eût été :

On peut se trouver en présence d'une série de mesures portant sur le carré d'une grandeur inconnue, et, d'après le postulat, il faut prendre là moyenne des n quantités directement observées.

M. Bertrand donne comme exemple une aiguille qui indiquerait le carré de l'angle mesuré. Devrait-on prendre la moyenne des lectures de l'aiguille, c'est-à-dire la moyenne du carré des angles, ou la moyenne des angles eux-mêmes f Aucune de ces deux solutions ne serait raisonnable. La mesure de cet angle comporte deux erreurs : 1° l'erreur de visée, et l'erreur de visée probable serait l'erreur moyenne de l'angle ; 2° l'erreur de lecture, et l'erreur de lecture probable serait l'erreur moyenne du carré de l'angle.

13. La règle de la moyenne semble donc dénuée de sens. Pourquoi cependant ne nous trompe-t-elle guère ? Pourquoi est-il légitime de prendre la moyenne ? C'est, au fond, parce que les erreurs sonl 1res petites.

Si, au lieu de z, je mesure / (z), et que j'applique à f[s) le postulat de Gauss :

r (,, = r iai + r (»,) + - +/■(». ),

TREIZIÈME LEÇON j'aurai, puisque x { est très voisin de *,

et de même avecx, ... œ n . J'en déduirai:

nz = x t -f" ^i + -■• + *«•

On arrive donc au même résultat qu'on ait mesuré directement la grandeur z ou une fonction quelconque /' (>) de cette grandeur.

Voilà, en somme, pourquoi on a le droit de prendre la moyenne.

14. D'un autre coté est-il si exact qu'on se borne à prendre la moyenne? Ce principe est-il si incontesté?

Sur n observations, s'il arrive que n — t soient très voisines l'une de l'autre et que la n" en soit 1res éloignée, prendra-t-on la moyenne? Le résultat serait très différent du centre de gravité des n — 1 premières observations, des n — 1 bonnes observations. Certains expérimentateurs écartent la n*: il y a eu, disent-ils, accident, et cette obser- t vation est mauvaise.

Mais alors la valeur prise n'est plus la valeur moyenne : on a eu une raison de rejeter le postulat.

Quand on adopte la loi de Gauss, l'erreur probable sur la

moyenne est —r ', de sorte qu'en multipliant les observations

i devrait aboutir à une précision de plus en plus grande, t cependant, quand on mesurera un mètre un million de as, sans vernier, on ne le connaîtra jamais à un millième a millimètre près, à un micron près.

Cela s'explique d'ailleurs : pour de très petites grandeurs uservées, on ne peut répondre de rien, il n'y a pas davange de raisons pour que l'erreur soit comprise entre et 1 icron que pour qu'elle soit comprise entre 1 et 2 microns.