Soit s la quantité à mesurer

La probabilité pour que le résultat de la mesure soit compris entre x, et a;, -\-dx, peut être représentée par y (a;, , z)dx t .

Gauss, nous l'avons dît, suppose que ? ne déponde que de* — x, ; la probabilité sera alors y(z — a:,) dx t ; de plus, il suppose qu'il n'y u pas d'erreur systématique, c'est-àdire que » est uue fonction paire et ne change pas quand on y substitue x t — x à s — te v

Soit y, l'erreur :

La probabilité est 9 (y,) tfy,.

Nous aurons à considérer la valeur probable de y,, et, plus généralement celle de y, p ; ce sera :

f ?(yi)y. prf y ( -

Comme y est une fonction paire, si p est Impair, cette intégrale est nulle.

2. On peut faire deux observations, y, et y,, et avoir à considérer la valeur probable d'une fonction de [y, et y a , par exemple ,v™i y"i .

? (y,) est la probabilité pour que la première erreur soit

comprise entre y, et y t -)- dy A : y (y t ) la probabilité pour que la seconde erreur soit comprise entre y, et j/ t -j- dy t , La valeur probable de j/™i y'"s sera par définition

ff^vî* •? Cvi) ? (yi) rf y. rf y»<

les intégrales étant prises de — oo à -f- oo par rapport à y t et par rapport à y a .

Comme la fonction sous le signe / / est le produit d'une

fonction de y, par une fonction de y t , et que les limites sont constantes, cette intégrale double sera le produit de deux intégrales simples :

Ceci montre que la valeur probable du produit est le produit des valeurs probables des facteurs.

Il faut que les deux facteurs soient différents : la valeur probable de y) par exemple ne serait pas le carré de la valeur probable de yj ; mais la valeur probable de y} y\ sera le produit des valeurs probables de y} et de y\.