II peut s'écrire

ei;

P est un polynôme du second degré en x qui atteint son minimum quand z est la moyenne arithmétique des quantités as ; représentons ce minimum, qui est positif, par ni* : c'est la valeur probable de y*.

Je pose :

d'oft :

Surf)/

1(1 tfy dh

jiSe

-it*(j,» + «f

1+rfyrfA

Pour y, comme pour *, on intégrera de — œ> à + oe .

9. Cherchons la probabilité, pour h seulement, d'être compris entre h et h -f- dh, y ayant toutes les valeurs possibles.

dhj A*<r "*<**+«*) i|»tfy

f dhÇ h* *-"*&+*> ffy

ty dépendait de z et A ; il dépend maintenant de y et h. Restreignons d'abord le problème en supposant toutes les valeurs de y également probables, c'est-à-dire <\> indépendant de y.

On a

r + "e— ***+**«? = B"-*" 1 f* V-Vrfy = «—*«' \J —•

La probabilité relative à h seul devient alors :

dh.h~ r e"' ,a \ f^dh.h* er""*1t

10. Quelle est d'abord la valeur la plus probable de A ? Cherchons le maximum du numérateur, puisque la probabilité lui est proportionnelle.

Ce numérateur peut s'écrire :

Or le maximum de rfh'b" x f a lieu en général quand :

dune atteint en même temps que celui de <I>.

Ici * est \/Â~e~ *** ; écrivons que la dérivée logarithmique

est nulle :

On a ainsi la valeur la plus probable de h.

On remarquera que, en supposant un nombre très grand d'observations, la fonction arbitraire ù n'intervient pas. Ce n'est pas étonnant : l'hypothèse que nous avions fondée a priori sur le plus ou moins d'habileté de l'observateur disparaît devant le grand nombre de résultats que nous contrôlons.

11. Quelle est la valeur probable de V? Cette valeur probable est :

CALCUL DBS PROBABILITÉS

J hWdk f fk-dh

Si n est très grand, nous savons vers quelle limite tend le rapport de ces deux intégrales ; c'est :

VfW-L

h t étant la valeur la plus probable. Ainsi la valeur probable de hf est htf.

Cette conclusion n'est vraie qu'à la condition que n soit très grand et que p soit fini.

Faisons t|* = i : nous arrivons à des intégrales eulëriei

/ *' ' •"""■» HP + 1 4 Ll ) (»*') ' »=-* = -i =-^x

c» id m 4- 1\ s±i

Le rapport des valeurs asymptotiques donne :

ca qui est bien notre conclusion.

Mais si Ton ne suppose pas p fini, elle ne serait pas applicable. Supposons p très grand, égal à - par exemple :

f (PJ pp «-P v!q>

Le second membre se réduit à 2p e—P ^2 (a')— p. On trouve donc pour la valeur moyenne de h p une expression très différente :

ÎPe-p\J'i («V

1. J'ai plaidé de mon mieux jusqu'ici eu faveur de la loi de Gauss dont nous allons maintenant tirer les conséquences. Peut-être pourtant la cause n'était-elle pas parfaitement bonne.

Il ne faudrait pas avoir une sorte de superstition pour la méthode des moindres carrés, à laquelle va nous conduire la loi de Gauss. Nous avons vu que l'on avait parfois des raisons de ne pas adopter cette loi.

Elle suppose, en elfet, qu'il n'y a pas d'erreur systématique, et il y en a toujours.

D'un autre côté, nous avons vu qu'on est souvent conduit à ne pas appliquer le procédé de la moyenne, et, par exemple, à rejeter une observation qui présente avec toutes les autres une divergence exagérée. Il n'en serait pas ainsi si la loi de Gauss était toujours vraie.

Quel genre de modification y aurait-il dans ce cas à faire subir à la loi de Gauss ? La courbe :

=\Zl'-'-.

que nous avons précédemment tracée, devrait être relevée dans les parties éloignées de l'axe des ordonnées.

La loi de Gauss suppose encore » fonction de y seulement.

y étant égal k x — j-, tandis que y peut dépendre de x et de z.

Par exemple, pour tenir compte de Yerreur décimale nous aurions pu prendre :