T(*)=VJ

6 (a;} étant une fonction périodique de se, de période 1, qui serait maximum pour les décimales qu'affectionnent certains observateurs et sur lesquelles ils retombent toujours. D'antre part, il y a moins de chance d'erreur si l'on tombe précisément sur une division donnée directement par l'instrument, qne si on est obligé de subdiviser une de ces divisions au jugé. Alors h ne serait plus une constante mais, une fonction de x qui aurait une période égale à 1 ; la précision serait plus grande quand x serait un nombre entier que lorsqu'elle ne le serait pas ; si même l'observateur évalue fort bien le dixième, mais ne sait pas donner d'autres décimales, 8 (x) sera rigoureusement nul pour toute valeur de x qui ne sera pas multiple de un dixième.

2. Problème des erreurs commises sur la situation d'un point. — Au lieu d'une seule grandeur mesurée, il arrive souvent qu'on en combine plusieurs, comme les deux coordonnées d'un astre, etc.

Je suppose, par exemple, que, pour évaluer la situation d'un point dans un plan, on ait fait n observations, et que l'on ait trouvé pour ses deux coordonnées rectangulaires, x et y, les valeurs :

Les erreurs commises sont :

— so et y, — y, x a — x

et y, — y, ... m n —

e vais poser :

x { = flj-}- Ç 41

y, zsy + n,,

Les erreurs commises sont ainsi représentées par :

l t et 7i,, X, et 1)3, ..., 5 n et ï|„.

3. On peut se demander quelle est la probabilité pour que les erreurs commises sur la première observation soient comprises entre £, et £, -|- d£ t , -r\ t et i) 4 -J- rfij,.

Soit :

cette probabilité ; il pourrait se faire que ? dépende de x et de y, mais je suppose qu'il n'en est rien, et que f dépend seulement des erreurs.

Ces erreurs peuvent être indépendantes; alors œ serait le produit de deux autres fonctions et la probabilité serait représentée par :

mais je suppose encore que l'erreur commise sur l'abscisse ne soit pas indépendante de l'erreur commise sur l'ordonnée.

Le raisonnement est analogue à celui de Gauss dans le cas d'une variable. On s'appuie sur le postulat suivant :

Si on a fait un certain nombre d'observations, on reporte

les points observés sur un plan ; la position la plus probable est le centre de gravité de ces points supposés de masse égale.

4. A l'exemple de Gauss, nous admettrons que cette manière de voir est légitime. Quelle est la loi d'erreurs qui justifie cette hypothèse ?

Cherchons la probabilité pour que les coordonnées du point soient comprises entre x et x + dx, y et y + dy.

C'est un problème de probabilité des causes et il nous faut chercher encore

ui est la probabilité a priori pour que les coordonnées soient comprises entre x et x -j- dx, y et y -\- dy ; représentons-la par:

xst = + (x, y) dxdy.

pt est la probabilité pour que, si la cause agit, le phénomène observé se soit produit : ici, le phénomène observé, c'est que les coordonnées sont l'une entre :

x, et x, + dx„ x t et x 3 -\- dx^ .... x„ et x a -f dx a ;

l'autre entre :

y, et y, + dy„ y t et y, + tfy„ ..., y„ et y„ + dy„.

Pi est te produit des probabilités relatives à chacune des observations.

Soit:

200 CALCUL DBS PROBABILITÉS

Alors :

Pt<3,

2ftra (

sera :

n^dxdydj^^dl^d^ ... dî B rff|, CïU/dxdycR, i dt [t <Ë. i dT [ y ... dÇ^,

l'intégrale étant prise par rapport à m et y, il reste :

THfdxdy illtydtcdy

Le dénominateur est constant et indépendant de x et de y ; la probabilité est donc proportionnelle au numérateur.

5. Quelle sera la valeur la plus favorable ? celle qui rend maximum le numérateur, rty. Or :

n = <p(ai,— m, y, —y)? (x t — x,y a — y) ... <f (x„— ce,y„- y)

Quelles sont les valeurs de x et, de y qui rendent ce produit maximum ? D'après te postulat, c'est la moyenne arithmétique de ce,, a:,,... x„ pour x, et la moyenne arithmétique de y,, y,,.., y» pour y.

Égalons les dérivées logarithmiques aux fonctions suivantes :

tf? d^

fl = F(S„„). *' = F, (!,,*).

= 0, La dérivée logarithmique de Ity par rapport à a;, qui doit

Higiteedby G00gle

s'annuler pour le maximum, est :

- F (S,, ,,) - F(i„ r„),.. - F (S., ,,) + » = o d'où :

La dérivée logarithmique par rapport à y conduirait à :

Ces deux relations devront être vérifiées toutes les fois que l'on aura :

*. + *, H- ... +«. = nr,

c'est-à-dire :

ii +■>)»+■•• 4-1-= o.

6. Il s'agit de déterminer les fonctions ? et -l de telle façon que les deux systèmes d'équations soient compatibles.

Différentions ces deux systèmes, en regardant ai et y comme constants, et en faisant varier \ t , -q,, £,, i^.., ;„, t,„. La dérivée de 8 et de o , dans le second membre, sera nulle, puisque 9 et % ne dépendent pas de ces quantités.

J'appelle F/ et F) les fonctions suivantes :

F,-Fft,„),