SB - B

238 CALCUL DBS PROBABILITÉS

ou :

-S' + (A + A'+.ATS' + ... = o.

La somme des racines est bien A -f- A' -f- A" ; d'autre part, la valeur probable de yj étant m 1 et celle de y,y t étant 0, celle de F sera :

Comme règle, on forme donc F — S S y*, on prend la somme des racines de l'équation en S et on multiplie par ni 1 .

10. Appliquons ceci à la forme quadratique S y" 1 - Soit la forme

* = Sy" - SEy», ou :

* = (i - S) Ey» - SS (y - y 1 )».

Formons l'équation en S et cherchons la somme des racines.

Les quantités y s'expriment linéairement en fonction de n — p d'entre elles ; Ey'* se décompose donc en une somme de n — p carrés, et l'on a, les l étant des fonctions linéaires des y,

Les y — y s'expriment en fonction de p d'entre elles, et l'on a, les t| étant des fonctions linéaires des y,

2(y-y7 = T|ï + li + - + lV

Les n fonctions linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes. Si elles ne l'étaie nt pas, remarquons qu'on a :

Ey* = SE» + Si,»-

D1X-NBUVIÈME LEÇON 239

Le premier membre est une somme de n carrés :

v}, yh ■•■» yï;

le discriminant de la forme du premier membre est 1. Le second membre ne peut avoir pour discriminant 0. On a ainsi :

* = (1 — S) ZÇ* — SEif.

Le discriminant est :

n — p racines sont égales à 1 , et p égales a 0, la somme des racines est n — p.

La valeur probable de Sy* est nm % ; d'après la règle exposée pins haut, la valeur probable de Sy' 1 sera:

^={n-p)m\ Donc :

par différence.

Ainsi : 1° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs commises est «m 1 ; 2° la valeur probable de la somme des carrés dos corrections faites est (n — p)m 3 ; 3" la valeur probable delà somme des carrés des erreurs après corrections est pm a .

11. La valeur probable de Sy'* est plus petite que la valeur probable de Sy 1 .

C'était aisé à prévoir.

Nous cherchons à déterminer les corrections de façon que la somme des carrés des corrections soit minimum : c'est le principe même de la méthode des moindres carrés.

A mesure que les observations augmentent, si nous considérons l'erreur commise sur une observation, nous allons démontrer qu'elle tend vers zéro.

Supposons que les observations augmentent constamment ; le nombre p demeure constant, ainsi quejwi 3 ; le nombre des termes va en augmentant : il y a des chances pour que chaque terme diminue constamment.

Si nous considérons la plus petite des quantités {y k — y'*)*,

elle sera certainement inférieure a

Observons une même quantité n fois ; une seule variable indépendante: p = 1.

Nous avons n termes, n observations faites dans les mêmes conditions ; donc :

12. Jusqu'à présent, nous avons supposé que la précision était connue, mais que les observations n'étaient pas faites.

Le problème se pose autrement; on ne sait rien sur la précision, mais les observations sont faites.

Nous voulons en conclure la valeur de h ou celle de m*.

Voici la solution.

Les y ne sont pas connues ; les y' le sont par la méthode des moindres carrés. 2y' s est connu.

J'égale sa valeur à la valeur probable calculée a priori :