Cette méthode est critiquée par M. Bertrand

En effet, si on l'avait appliquée a une autre combinaison, par exemple ïy'*, on en aurait déduit une valeur de m qui n'eût pas été la même. La méthode peut devenir suspecte.

C'est un problème de probabilité des causes, et nous appliquerons les règles de ce calcul.

On demande la probabilité a posteriori pour que h soit compris entre certaines limites.

Cette probabilité est

tsi est la probabilité a priori de la cause, c'est-à-dire pour que h soit compris entre h et h -f- dh ; p t est la probabilité pour que, si la cause a agi, les observations aient donné des résultats respectivement compris entre ce, et x i + (te,, œ t et x a -\- dœ t ... cc K et X* -J- dœ n .

Cherchons la valeur probable d'une fonction de h,f {h) ; celle valeur probable est:

l*PlBi

Faisons de suite la remarque que le résultat va dépendre de la probabilité a priori; le résultat de Gauss ne peut donc déjà être tout à fait exact.

Si je détermine A par

rw = 7W),

cette valeur probable de h dépendra de la fonction.

Si je cherche la valeur la plus probable, ce sera la même chose.

On peut se tirer d'affaire à une condition : c'est que le nombre n soit très grand. Le facteur ai n'a plus grande influence; ainsi, pour

toutes les méthodes conduisent au même résultat, si toutefois le nombre des observations est très grand.

3igiteedby G00gle

1. Lorsqu'on observe une quantité z, et que les observations ont donné se,, x 3 ,... ec a , on peut représenter a< et pt par

Ui = + (A,*) dhdz, p, = ndw t diS t ... das„.

La probabilité a posteriori pour que A soit compris entre h et A -j- tfA, et « entre 3 et s -\- dx, est :

HJ- (M) tifttte t/tc,^ ... dx„ <

Les différentielles et», , tte a , ... dx„ disparaissent dans ce rapport, et il faut intégrer par rapport à A de à -f as et par rapport as de — œ à-j-oo.

Imaginons que, au lieu d'une quantité *, il y en a n, *,, 3j,... z,„ qui sont fonctions de p variables m,, u t , ... w pi et que les valeurs observées des a sont x ,,a.- a , ... x„; les erreurs commises sont y„ y t , ... y„.

n; sera la probabilité a priori de la cause : ici, pour que A soit compris entre h et h -j- dh t et pour que u, soit

244 CALCUL DBS PROBABILITES

compris entre w, et u, h du,, «3 entre u, et u t \- du t ..., 0,= ty (A, «,, M a , ..., m,,) dh du,rfw, ... du p .

p t sera la probabilité de l'effet en supposant que la cause ait agi.

Pi = ndx l dx i ... dx n ,

La probabilité a posteriori sera :

U'ji(k, u„ m, .... it p ) dh du,du t ... dic p dw,dx t ... dx„ fllty (A, w # , u, ,.., u p ] dkdu,du a ... dup-dx\dx % ... dx n

11 faut intégrer par rapport à A do à -{ ■ 00 , et par rapport aux u de — 00 à + se ; quant aux différentielles des ac, elles disparaissent comme précédemment.

La probabilité cherchée s'écrit donc :

ItyrfA du,du t ... du B I lltydk dxt l du i ... du p

S. Elle dépend de la fonction ty qui est entièrement arbitraire, et qui est soumise à l'idée que nous nous faisons a priori de la valeur des net (ie l'exactitude que nous attribuons a priori aux observations; mais 6 ne joue pas le plus grand rôle si les observations sont nombreuses.

Je vais appliquer à cette fonction ty une forme particulière, en supposant qu'elle ne dépend que de A.

On justifie cette manière de voir en disant que les mesures donneront en général aux u des valeurs très voisines les

unes des autres; qu'elles sont comprises dans un petit intervalle où la valeur de z variera peu si les observations sont concordantes.

La valeur probable de h- sera :

/ \l\h*dh dv,du t ... du p fc= J -

fn^dh

du, du.

Ces deux intégrales doivent être calculées de la même manière : fty varie de à -f- x et les w de — » à -j- ce .

8. Qu'est-ce que Ey J ? C'est une fonction de te t qui eat connu, et de *t qui est une fonction des u.

Par la méthode des moindres carrés, on obtient comme valeur à adopter pour u L la valeur «? : les valeurs des u ainsi définies ne sont pas exactes, mais elles sont les plus convenables à adopter.

U, = a) + «„ vi étant très petit.

Les yt sont des fonctions des v, et on peut les considérer comme des fonctions linéaires des v, en négligeantes carrés.

Le polynôme

sera du second degré par rapport aux v, mais non homogène ; il atteint son minimum quand les v sont nuls. Les équations

dVi~ °

doivent être satisfaites quand les v sont nuls. Donc P ne renferme que des termes du second degré et

du degré zéro; il n'y a pas de termes du premier degré. P = P„ + P,.

P„ est le minimum de Sy*, ce qu'on a appelé Ey' 1 , dont la valeur probable est (n — p) m s . Donc P est très grand en général, et il y a d'autant plus de chances qu'il soit grand, qu'il y a plus d'observations.

A étant une constante.

Le polynôme P a est obtenu en additionnant entre eux les termes du second degré ; il y a un très grand nombre de carrés, il y en a n, et les coefficients du polynôme P, sont du même ordre de grandeur que n.

Q étant de l'ordre de grandeur de A.

La valeur probable de A* sera :

MV

on intègre par rapport à h de a + » , et par rapport aux » de — « à -f- oo .