La première intégrale porte sur
qui dépend de A; et sur
e-M—P)Q qui dépend des v.
VINGTIÈME LEÇON 11 faut calculer haut et bas
/ e-*l"-^'Orft).rft)....rfp p .
Q «si un polynôme homogène et du second degré par rapport aux v ; je pose :
il); = Vf \h.
AQ devient un polynôme Q' homogène et du second degré par rapport aux o>.
L'intégrale devient :
fe-l—>'Wd<» l tim I „,db> p h
Les limites de l'intégrale restent les mêmes, et la valeur
de l'intégrale est :
où B ne dépend pas de A.
Alors :
f" </AiA»*~ ~*h~*9- "C-»B = J -i =
f dA|Tt" 5 A » «-**■(— «B
f J-AvA " e- M i n -''rfA T>=*^
3i 9 iteedbyG00gIe
Je pose :
-"dh
/oc
"rfA
formule qui dépend de -f .
5. Si nous voulions pousser plus loin, il faudrait introduire une hypothèse sur ty. Cependant, quand on suppose n — p très grand, la fonction ■} n'a plus d'influence.
Lorsqu'on a :
Jv^dh fv,<t> a dh
et qu'on fait croître n indéfiniment, la limite de ce rapport est :
FM
où h tl est la valeur qui rend <t> maximum.
On a donc ici :
T- ♦(*.)>' ■ ~ +(«.) c'est-à-dire :
AT = a;,
h,, étant la valeur qui rend * maximum.
A celte condition de n très grand, la valeur probable de h'< ne dépend plus de ii ; la valeur probable de h est toujours h , quel que soit v.
Il n'en serait pas de même si l'on ne supposait pas n très grand.
De plus, n doit être très grand, non seulement en valeur absolue, mais par rapport à p d'une part et à v d'autre part.
Ainsi, si
il faudrait rendre maximum non plus *, mais *A*, 6. Si » n'était pas très grand, on aurait à rendre maxi-
si n est grand, la valeur de h est a très peu près celle qui rend maximum * (A).
!*■ = (* — *)A; ce résultat est conforme à la loi de Gauss :
sy = („-p)m>.
La valeur probable du carré de l'erreur est :
d'où :
c'est bien la même valeur.
Il ne faudrait pas attacher grande importance à ce qu'on a raisonné sur n — p au lieu de n, parce que n est très grand
et que " est voisin de i.
La règle est donc justifiée si le nombre des observations est très grand.
1. Je vais appliquer la méthode des moindres carrés à une question nouvelle, la recherche d'une fonction inconnue f (&).
Nous mesurons certaines valeurs de cette fonction.
/■(«.).= *•■ Construisons la courbe :
dont on a ainsi un certain nombre de points.
On pourrait toujours, par ces points M,, M,,... M«, faire passer une courbe, mais cette solution ne serait pas la .meilleure: on fait passer une courbe près de ces points, aussi continue que possible.
Un autre procédé présente aussi un certain degré d'arbitraire comme le procédé géométrique : je veux que ma courbe soit de degré q aussi petit que possible.
252 CALCUL DKS 'PROBABILITÉS
q est plus petit quen — 1; car si q était égal à » — I, on aurait une fonction satisfaisant exactement aux conditions. Quelle valeur attribuer à q ? Cette valeur est arbitraire. On la choisit d'abord assez petite, puis, si elle est insuffisante, on introduit un terme de plus dans le second membre, et ainsi de suite.
2. Laissons de côté ce mode de tâtonnements et supposons q choisi,
Nous déterminerons les coefficients du polynôme de telle façon que
soit minimum.
f(œ) est linéaire par rapport aux coefficients C.
Je vais poser:
F (a) = (a> — <j,) [ce — «,) ... [a— a„).
La question se rattache au développement en fraction continue du rapport
FM
FM
Ce développement s'opère comme si Ton cherchait le plus grand commun diviseur de F et de F'. On aura successivement :
F =Q,F + Ri, F = QiR. + Ft„ R| = O.K. + H„
Il n'y a pas de terme R„ dans la dernière équation, car
En général, F est de degré n, F de degré n — i, R, de
degré n — 2, R„ de degré n —• p — i , R„ , de degré et
tous les Qde degré 1.
On a:
p "o.+ir
Ainsi :
