Nous avons à considérer les réduites successives de ce

développement.

Comme

h la place de :

je puis écrire ;

Si je pose :

j'aurai :

Si je pose :

j'aurai :

Nous exprimerons de la même manière un quelconque des restes successifs.

N,F D,F' = R,, N, + ,F- D, + 1 F' = B, tl .

Comme :

R, tl = (N,F - D,F) - Q, t , (N,,,F - D.^.F).

Si je pose :

N„., = N,-Q, t ,N, + „ D„, =D,-Q, t ,D, tl ,

j'aurai encore ;

Sur ces relations de récurrence, on constate que :

R„ R„ ... etR„,

sont respectivement de degré n — 2, « — 3, ... et 1, et

que R„ , est une constante. N, est de degré 0, N, de degré I, ..., Nj de degré i — 1. On voit aisément que si cette proposition est vraie pour N ( et N /4 . , , elle l'estencore pour N (+ 1 . T> t est de degré i.

4. Je dis maintenant que N,- et D; sont le numérateur et le dénominateur de la réduite d'ordre i.

Les relations de récurrence le rendent évident ; mais on peut le voir autrement.

J'écris la suite

Ri-i = Q ( R/, + R(,

d'où je déduis:

Je puis encore écrire l'équation suivante :

Supposons que l'on veuille calculer la réduite :

Je n'ai qu'à faire R, = dans l'égalité précédente, et faire

les R étant devenus des 11'.

On a entre les R' également des relations de récurrence,

Rj = Q,RJ-f-R;

R( est nul ; donc, N, et D/ étant les mêmes que plus haut, N(fc — Dfl.i — o,

jr est bien la î" réduite.

Quelle relation y a-t-il entre cette réduite et le problème

proposé?