L'équation fondamentale est

Faisons attention au degré de tous ces polynômes. Rappelons que : N, est de degré i — 1 ; F est de degré n ; D f est de degré i ; F' est de degré n — i ; R^ est de degré n — i — i.

De l'équation fondamentale je tire :

BE N ,a.

Je multiplie les deux membres par œM

<cH)<F' „ aiïR t

Je m'en vais évaluer la somme des résidus dans les deux membres ; notons d'abord que pour ce calcul nous ne devons tenir compte que des deux fractions où F entre au dénominateur.

Supposons ensuite que, dans une fraction rationnelle, le degré du numérateur soit d'une unité inférieur a celui du dénominateur, par exemple

A'g"-' +BV-» + ... .

A'*"-f- B'tt—i -f ... '

cette fraction se décomposera en :

Si je multiplie par te,

tendra vers SA, ou la somme des résidus, quand x croîtra indéfiniment, les autres S {c'est-à-dire celles où a; — a entre au dénominateur à une puissance plus grande que 1) s'annuleront.

Maie :

lim -7T = o, pour x = « ,

si le degré de «P est plus petit que celui de Q. Donc : la somme des résidus sera nulle si le degré du numéra-

CALCUL DIS mOBABILlTls. 17

teur est inférieur de plus d'une unité à celui du dénominateur.

Considérons

le dénominateur est de degré n, le numérateur de degré n-i-i+p-Si:

c'est-à-dire :

la somme des résidus sera nulle.

Ainsi quand \t est égal à 0, 1,..., t — 1,1a somme des résidus sera nulle.

Q n'a pas de racines multiples et s'annule pour m — : a, le

résidu pour œ = a est . * ' •

Prenons pour a l'une des valeurs qui nous a servi à calculer f (x) ; le résidu par rapport & a de

ggDjF'

aPD, (a) F' (a)

aW, (a).

VINGT ET UNIÈME LEÇON Ainsi, pourvu que |x soit plus petit que i :

Ea^D, (a) = o, la sommation étant étendue à toutes les valeurs de a :

Il en résulte

que si P,, est un polynôme quelconque

d'ordre i — i :