Résolvons l'équation de récurrence plus générale
AK*(n+K)-hAK-,cp(w-{-K-l;-f- -fA^^(n+lj+Aoî(w) = o,
où les A sont des coefficients constants. C'est une équation aux différences finies, linéaire et à coefficients constants, dont l'intégration rappelle celle des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Supposons que l'on ait trouvé K solutions », (n), ©al")' •••' »K [il), de telle sorte que :
S^Aç»,- {n -{-q) = o.
Nous aurons encore une solution en posant :
0) in) = a,ç<, [n] -f- a,ep2 (n) + ... -j- ^^k^k (n).
En effet, multiplions le 2 précédent par a,, et faisons la somme des termes obtenus en faisant varier i.
Si»,, 521 1 fK sont linéairement indépendants, on aura
ainsi la solution générale. Supposons, en effet, que ce ne soit pas la solution générale ; alors :
? (w) = a,;p, + a^So -f ... + aRîK -f- •}.
Je vais choisir a,, a,, ... ïk de façon à satisfaire au système suivant :
cp (0) = a,», (0) + a.,»2 (Oj 4- ••• -f ^K?K (0) (f (i) = a,», (1) -h a,»., H) -j- ... + aK»K (1)
»:K— 1 =a,», (K— l)-f a2»2(K— 1)+ ... -j-aKOK'K— I)
Ces K équations linéaires déterminent a,, a,' •••> *k, à condition que leur déterminant soit différent de zéro, ce qui aura lieu quand o,, s^, ••., »k seront linéairement indépendants. Dans ce cas, on aura :
et par suite la relation suivante :
AK<|;(n-|-K) + AK-,-!'(n4-K-l,-}-...+A,.}(n-|-l)+Ao.|{n)=:o.
Je fais n n= o, tous les termes s'annulent sauf Ak'J^ (K); donc •} (K) est nul.
Si je fais n = 1, <\ (K -|- 1) est nul...
Donc (]/ [n] est identiquement nul, et <» [n] se réduit à *(?4 ~h *2?2 ~h ••• "1~ *K<î>K- Ainsi, il suflit de connaître K intégrales particulières linéairement indépendantes pour connaître l'intégrale générale.
Pour trouver K intégrales linéairement indépendantes, je pose (f [n] = P". Alors :
AKr+''4-AK-ir"'''~' + •■• + Kr = o
ou
AKp'^H-AK-ir-' + -- + Ao = o,
d'où K valeurs particulières de p, et par suite K intégrales particulières.
Il se présente une exception, quand l'équation en p offre des racines multiples, par exemple une racine -double, p^ z=z ^2 ; en faisant varier les coefficients d'une manière continue, il peut arriver que deux racines deviennent égales. On n'a plus alors K solutions.
P'\ et P'I sont des solutions ; y- r^ est une combinaison
linéaire, et par conséquent une solution. Quand p, tend vers p2, par raison de continuité, à la limite on a encore une solution. Cette limite s'obtient en différentiant par rapport
à p^ les deux termes du rapport, ce qui donne — ^ — ;
n^l-^ ou, si l'on veut, np" est donc une nouvelle solution. Avec une racine triple, on aurait en outre n? P", etc.
5. Appliquons cette règle au problème qui nous occupe» c'est-à-dire à Téqualion (1) du paragraphe 3. Faisons cp (n) = p", il viendra
ou
Cette équation du second degré a une racine évidente^ p = l; l'autre est : c'est cette valeur que nous appellerons désormais p. Les deux solutions p" et 1 donnent pour la valeur générale de tp {n) :
Les conditions limites donnent les deux constantes arbitraires.
d'où
et
Cette expression devient illusoire, si l'on suppose ^ = 1 . Quand ^ — l,p = -; le jeu serait équitable. On chercha la vraie valeur de » («) par la règle de l'Hôpital :
? {") = :^7rî — = -— — = —
Trois cas sont à considérer :
1° P > 1. Le jeu est avantageux à A, p > 1 — p,
9 in) = yzn' 2° p = 1. Le jeu est équitable, p = 1 — p,
3° p < 1. Le jeu est avantageux à B, p < 1 — p,
La probabilité pour que B se ruine est "-— '—' Pour avoir
la probabilité pour que A se ruine, on permute p et 1 — p ; p se change en — et n en m :
'est
-à-dire :
La somme
des deux
probabilités
est égale à l'unité, tfe qui n'était pas évident a priori. En effet, la probabilité pour que la partie se prolonge indéfiniment pouvait avoir une valeur finie.
Supposons s très grand. Quand p > 1, p* est très grand et ^ (n) a le signe de p'; sa limite est i. Quand 8 = 1, sa
limite est encore 1. Quand ^ < i, 6* tend vers 0 à mesure •que s augmente, et la limite de s (n) est ^".
Conclusion: Si donc s est très grand et n fini, on a la certitude d'être ruiné dans un jeu équitable ou avantageux à l'adversaire. Mais si le jeu est avantageux au joueur, la probabilité d'être ruiné devient d'autant plus petite que sa fortune est plus grande.
Un joueur de profession, un banquier, joue avec tout le monde, c'est-à-dire avec un adversaire infiniment riche, mais le jeu lui réserve des, avantages. Au contraire le ponte ■qui jouera indéfiniment est sur cCètve ruiné.
