M. Bertrand a calculé le moment probable de sa ruine
Pour le banquier, p < 1, la probabilité pour que labanqie «aute est P". 6 est le rapport des chances favorables au ponte, aux chances favorables au banquier; supposons
^ =-20' c est-a-dire 3 = 1 — ^^^
n est la fortune du banquier, en prenant pour unité l'enjeu 4e chaque partie ; il y a un maximum pour cet enjeu, d'où pour n un certain maximum ; soit n = 1 000.
La probabilité pour que la banque saute est :
o-ér"°=[('-é)T
«u, à peu près, e-'"^, quelque chose d'extrêmement faible.
Nous arrêterons ici l'étude des cas qui se ramènent à de simples problèmes d'analyse combinatoire.
CALCIX DES PROBABILITES.
1. Nous abordons maintenant les théories qui se rapportent à la formule de Stirling, au théorème de BernOuilli et aux probabilités des causes déduites d'épreuves répétées.
Supposons que les deux événements A et B, de probabilités respectives p et q, soient contradictoires. A chaque épreuve, l'un d'eux se produit certainement, et ils ne peuvent se produire tous deux ; alors
la probabilité totale est égale à la certitude.
On répète m fois l'épreuve : à chaque épreuve l'un des deux événements se produit. Ainsi, avec un dé, l'événement A peut être l'arrivée du point 6 et l'événement B celle des
autres pomts ; p = ^' et <? = ô*
A se produira un certain nombre de fois et B aussi. On demande la probabilité pour que A se produise a fois, et B m — 5t fois.
On suppose que la probabilité reste la même à chaque
épreuve. Avec le dé, la probabilité est toujours ^ pour amener
le point 6. Au contraire, avec un jeu de 32 cartes, la proba-
CINQUIÈME LEÇON 5t
bilité de tirer un roi est 3 à la première épreuve ; elle est o
— ou — à la deuxième, suivant qu'on n'a pas amené ou qu'on 31 31
a amené un roi à la première.
2. Cherchons d'abord la probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre déterminé.
AAB AABBAB ; les probabilités de chacun de ces événements seront
Pvqppqqpq,
et la probabilité composée, la probabilité pour que tous ces événements se produisent à la fois, est
En général, la probabilité pour qu'il se produise dans un ordre déterminé a événements A et >w — a événements B est
Elle est indépendante de l'ordre considéré.
3. Si l'on veut que les m épreuves donnent dans un ordre quelconque a événements A et m — a événements B, en vertu du principe de la probabilité totale, la probabilité cherchée sera la somme d'autant de termes égaux à p*^'"-* qu'il y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de a lettres A et de w — x lettres B ; ce nombre est :
xl m — x\
La probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre quelconque est:
p^qh
c'est l'un des termes du développement de (p -j- q)'"-.
Si je fais la somme de tous les termes que je puis obtenir en faisant a égal à 0, à 1,..., à w, j'obtiens :
Swa = (i5 + qY= 1.
La somme des probabilités de tous les cas possibles doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'un de ces cas possibles se produira, et un seul.
